|
7. Дифференциальные принципы теоретической
механики
7.1. Примеры несвободных систем
Рассмотрим пояснение общих определений, данных ра-
нее, на примерах.
Пример 1. Математический маятник – это материальная
точка массы m, колеблющаяся по дуге окружности в одно-
родном поле тяжести в вертикальной плоскости . Реализуется
маятник в виде груза, подвешенного на капроновой нити.
Положение маятника можно задавать декартовыми коорди-
натами x, yгруза. Эти координаты связаны соотношением
2
2
2
(7.1)
где l – длина маятника.
При заданной длине l в качестве координаты, определя-
ющей положение маятника, проще пользованиям углом
от-
клонение нити от вертикали, отсчитывая этот угол против ча-
совой стрелки. Преимущества использования угла
:
1) число координат меньше (одна вместо двух);
2)
– независимая координата, x, y связаны уравнением
(7.1).
Уравнение (7.1) представляет собой ограничение, за-
данное заранее, независимое от динамических уравнений
движения. Подобные ограничения называются связями.
Связь (7.1) голономная, стационарная, удерживающая. Голо-
номная связь содержит только координаты; стационарная
связь не содержит явно времени t, удерживающая связь пред-
ставлена уравнением, а не неравенством.
Кроме силы тяжести на груз действует сила упругости
нити – реакция связи. Сила тяжести задана заранее, она явля-
ется активной. Реакция связи (пассивная сила) заранее не за-
150
дана, она подлежит определению из уравнений механики; ее
значение от величины активной силы.
Рассмотрим виртуальное (возможное) перемещение ма-
ятника. Пусть в фиксированный момент времени t координа-
ты груза равны x, y. Разность координат
и
в тот же момент t двух бесконечных близких
положений, совместимых со связями, определяют виртуаль-
ное, или возможное, перемещение маятника. Поскольку оба
положения
согласуются со связями, то
наряду с (7.1) имеет место еще и равенство
2
2
2
(7.2)
Вычитая из (7.2) равенство (7.1), получим
2
2
(7.3)
Виртуальное перемещение определяется вариациями
координат
, которые должны быть согласованы с
уравнениями связей по определению с точностью до главной
линейной части приращения включительно. Это означает,
что мы получим уравнение для вариаций координат, если со-
храним в (7.1) только линейные члены. Следовательно, для
любого фиксированного момента t вариации координат удо-
влетворяют равенству
Связь (7.1) является идеальной. Это означает: работа ре-
акции
⃗⃗⃗ нити на любом виртуальномперемещении равна ну-
лю. Действительно,
⃗⃗⃗ ⋅ ⃗
⃗
⋅ ⃗
.
Равенство нулю работы можно заключить также из того,
что вектор реакции
⃗⃗⃗ перпендикулярен ⃗
Пример 2. Математический маятник, подвешенный к
151
бруску, который может скользить без трения по горизонталь-
ной плоскости. Система состоит из двух материальных точек
массой
1
1
1
2
2
2
. Четыре координаты этих точек
удовлетворяют двум уравнениям связей:
1
(7.4)
2
1
2
2
1
2
2
(7.5)
Варьируя эти уравнения, находим ограничения на вари-
ации координат
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(7.6)
Здесь две независимые вариации координат: 4-2=2. Из
трех вариаций
1
2
2
две можно выбрать произвольно;
тогда две другие определятся из уравнений (7.6). В итоге
можно получить бесчисленное множество виртуальных пе-
ремещений системы. Связи голономные, стационарные,
удерживающие, идеальные.
Пример 3. Спортсмен на лыжах скользит по трамплину,
отрывается от него и летит в воздухе, а затем снова призем-
ляется. Трамплин – связь: голономная, стационарная, не-
удерживающая. Условием отрыва от связи является обраще-
ние в нуль реакции связи.
Пример 4. Математический маятник находится на плат-
форме, которая движется с заданной постоянной скоростью v.
В отличие от маятника в примере 2, рассматриваемый
здесь маятник имеет не две, а одну степень свободы. Урав-
нения связей имеют вид
1
,
1
,
2
1
2
2
1
2
2
Варьируя эти уравнения, т.е. дифференцируя при фик-
сированном t находим
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
152
Из уравнения
1
следует, что виртуальное переме-
щение осуществляется при неподвижном бруске. Связи голо-
номные, нестационарные, удерживающие.
В заключение остановимся на некоторых общих поло-
жениях.
1.
Действительные перемещения точек системы про-
исходят во времени под действием заданных сил при нало-
женных связях; эти перемещения согласуются как с действу-
ющими силами, так и со связями. Возможные перемещения
согласуются только с «замороженными» связями, силы игно-
рируются.
В случае стационарных связей действительное беско-
нечно малое перемещение системы геометрически совпадает
с одним из возможных перемещений.
Возможное перемещение определяется разностями ра-
диус-векторов (или координат) точек системы в положении
для момента t и бесконечно близкого положения, которое со-
гласуется со связями в момент t. Эти разности радиус-
векторов обозначаются
⃗
1
⃗
2
⃗
N
, а их проекции на де-
картовы оси
1
1
1
N
N
N
. Такие величины
называются изохронными вариациями радиус-векторов, или
координат.
Найдем в общем виде уравнения, связывающие вариа-
ции координат. Для краткости условимся функцию
1
1
1
N
N
N
записывать в виде
; здесь
под
понимаются координаты всех точек системы в мо-
мент t. Пусть они удовлетворяют уравнениям голономных
связей число связей равно l:
Рассмотрим бесконечно близкое положение системы,
согласованное со связями в момент t, и пусть
153
соответствующие координаты точек. Так как эти
координаты удовлетворяют уравнениям связей в тот же мо-
мент t, то
.
Вычитая из последнего уравнения предыдущие и сохра-
няя, как того требует определение понятия виртуальных пе-
ремещений, главную линейную часть разности, получим
∑
k
k
k
.
Здесь множители
k,
k
k – некото-
рые постоянные, так как уравнения относятся к определенно-
му моменту t и соответствующему положению системы. Си-
стема l однородных линейных уравнений представляет собой
систему ограничений на изохронные вариации координат.
2.
Do'stlaringiz bilan baham: |
