|
3. Закрепление доказательства теоремы.
4. Применение теоремы.
2.12. Изучение векторов в курсе математики
План
Различные подходы к определению понятия вектора.
Содержание темы в школьном курсе математики и некоторые особенности ее изучения.
В школе понятие вектора вводится в восьмом классе. На изучение данной темы предусмотрено 8 часов.
Различные подходы к определению понятия вектора
Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики и в технике. Работы К. Весселя, Ж. Аргана и К.Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двухмерном пространстве плоскости.
В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мебиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теорий относительности, которые играют исключительно важную роль в физике.
В соответствии с требованиями программы по математике для средней школы понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса геометрии, так как уже на первых уроках физики в IX классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. В физике при помощи векторов изображаются различные направления величин: сила, скорость, ускорение, перемещение материальной точки и т. п. При этом часто векторные величины называют векторами. Иногда такая направленная величина оказывается существенно связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.
Но в математике обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой). Следует отметить, что в математике вектор рассматривается как элемент векторного пространства, но в школьном курсе математики понятие "векторное пространство" не изучается. Поэтому и выделяют различные подходы к введению вектора. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. И фактически ни один из них не является идеальным и логически безупречным.
Так, в пособии под редакцией Колмогорова А. Н. дается такое определение: "В геометрии параллельные переносы имеют и другое название - их называют векторами". Данное определение основано на рассуждениях, что вектор - это объект, характеризуемый направлением и длиной. Однако, как известно, теми же самыми признаками характеризуется и параллельный перенос. Поэтому представляется наиболее естественным всякий параллельный перенос называть вектором.
Новое определение вектора не связано с понятием направленного отрезка. Под вектором понимают либо множество упорядоченных пар точек, задающих некоторый параллельный перенос, либо сам этот перенос. Рассмотрим множество всех пар точек плоскости. Для элементов рассматриваемого множества введем следующее отношение: пары (А, В) и (С, D), если [AB)[CD) и АВ=CD. Это те пары точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Эквивалентными между собой будем считать и пары, у которых первая точка совпадает со второй. Легко проверить, что такое отношение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Данное отношение эквивалентности разбивает множество пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Заметим, что при данной трактовке вектора направленный отрезок АВ выступает как удобное наглядное изображение вектора.
Однако в статье А. Д. Александрова "Понятие вектора в физике и геометрии" (Математика в школе. - 1985. - № 5) говорится о том, что неправильно определять вектор как направленный отрезок.
В этой же статье в качестве наиболее удачного предлагается такое определение вектора: "Вектором в геометрии называется направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора его начала, т.е. равные друг другу направленные отрезки считаются представителями или изображениями одного и того же вектора. Данный вектор - это любой из таких отрезков". Однако в учебнике А.Д.Александрова это определение в явном виде не сформулировано.
"Направленный отрезок называется вектором" - так определяется данное понятие в пособии А.В. Погорелова. В настоящее время этот учебник остается ведущим, поэтому больше внимания следует уделять изложению данной темы в этом пособии.
Отличительной чертой изложения векторов здесь является широкое использование координатного метода. При этом широко применяются свойства параллельного переноса, который сам вводится с использованием координат. С помощью параллельного переноса вводятся такие понятия, как "одинаково направленные векторы", "равенство векторов".
У этого подхода к введению векторов есть достоинства и недостатки. К достоинствам можно отнести отсутствие трудностей, связанных с введением операций над векторами и законов векторной алгебры. К недостаткам следует отнести то, что геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, а приложения векторов в физике и в геометрии практически не рассматриваются. Эти недостатки частично устранены в учебнике Л.С. Атанасяна и др. "Геометрия 7-9 кл.", где сначала изложена декартова система координат, затем тема "Векторы" (вектор и операции над векторами рассматриваются с геометрической точки зрения, уделяется внимание их приложениям) и только потом идет векторная алгебра.
Do'stlaringiz bilan baham: |
