Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Содержание темы в школьном курсе математики и некоторые особенности ее изучения

Операции над векторами.
Операции над векторами, которые изучаются в средней школе, следующие:
- сложение векторов (вычитание);
- умножение на число;
- скалярное произведение векторов.
Чаще всего эти операции вводятся в геометрической форме (Л.С. Атанасян).
Отличительной чертой учебного пособия по геометрии А.В. Погорелова является то, что все операции над векторами вводятся в координатной форме. (Фактический материал см. по соответствующим учебникам).
Важным для приложений векторов является тот факт, что любой вектор допускает разложение в виде , где - единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, их называют координатными векторами, или ортами.
В этой теме обязательно доказательство теоремы о скалярном произведении векторов (доказательство знать), поскольку ряд важных следствий из этой теоремы, а также свойства скалярного произведения позволяют применять векторы к доказательству теорем и решению задач.
Применение векторов при доказательстве теорем.
С помощью векторов могут быть доказаны следующие теоремы:
- средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна ее половине;
- сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон;
- диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
- диагонали в прямоугольнике имеют равные длины; и т. д. (одну доказать).
Методика решения геометрических задач с помощью векторов.
Введенный в среднюю школу векторный аппарат дает новый метод для решения геометрических задач. По значимости его можно сравнить с методом составления уравнений.
Так как этот метод является новым для учащихся, необходимо:
a) заинтересовать учащихся, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;
b) обучать учащихся некоторым эвристикам (системе определенных правил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые помогут создать у них навык в его применении;
c) обучать учащихся этому методу достаточно на простых задачах, не отвлекая внимание на трудности чисто геометрического содержания.
Следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным, к решению некоторых задач он не применим или малоэффективен.

Можно выделить следующие эвристики.

Что требуется доказать (на геометрическом языке)	Что достаточно доказать (на векторном языке)
1) a║b	, где АВа, CDb, k - число.
2) Точки А, В и С  прямой а	a) установить справедливость одного из следующих равенств: или ; b) доказать равенство , где p+q=1, Q - произвольная точка; c) доказать равенство , где α+β+γ=0 и Q - произвольная точка.
3) Точка С  отрезку АВ, где АС:АВ=m : n	или для некоторой точки Q.
4) а┴b	, где А,В а, C,D b.
5) Вычислить длину отрезка	a) выбрать два неколлинеарных (или 3 некомпланарных) базисных вектора, у которых известны длины и углы между ними; b) разложить по ним вектор, длина которого вычисляется; c) найти скалярный квадрат этого вектора, используя формулу
6) Вычислить величину угла.	1) выбрать два неколлинеарных (или 3 некомпланарных) базисных вектора, у которых известны длины и углы между ними; 2) выбрать векторы, задающие искомый угол, и разложить их по базисным векторам; 3) вычислить cos α .

В учебнике геометрии автора А.А.Рахимкариева «Геометрия. 8 класс» теме векторы уделено восемь тем, на каждую тему выделяется по одному часу.
Представлены следующие вопросы:

1. 
   Понятие о векторе.
   
2. 
   Сумма и разность векторов.
   
3. 
   Умножение вектора на число.
   
4. 
   Применение векторов к решению задач.
   
5. 
   Координаты вектора.
   
6. 
   Действия над векторами, заданными своими координатами.
   
7. 
   Скалярное произведение векторов.
   
8. 
   Геометрический и физический смысл векторов.
   

В начале рассмотрения данной темы определяются скалярная величина, затем векторная величина. Векторной величиной называется величина определяемая числом и направлением.