Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2. Формулировка теоремы, ее анализ. В курсе математики формулируются и доказываются теоремы, имеющие различный вид: в одних теоремах из одного условия вытекает одно заключение, в других - из одного условия вытекает несколько заключений, в третьих - из нескольких условий вытекает одно заключение и т. д. Но в любом случае теорема состоит из трех частей:
а) разъяснительная часть, в которой описывается множество М объектов, о которых идет речь в этой теореме;
б) условие теоремы, то есть некоторый предикат А(х), заданный на множестве М;
в) заключение теоремы - некоторый предикат, заданный на том же множестве М. В символах математической логики теорема может быть записана следующим образом: (xМ) (А(х) => В(х)).
Нужно выделить все эти части в рассматриваемой теореме и сформулировать ее в виде "Если ..., то ..." (в случае, если она сформулирована в другом виде). Установить, какое дано утверждение - простое или сложное. Если теорема имеет сложное строение, то разбить ее на простые теоремы и сформулировать каждую в указанном виде.
1. Чертеж (рисунок), краткая запись теоремы. Сделать чертеж к теореме и записать, что дано и что требуется доказать.
2. Идея и план доказательства. Здесь необходимо указать метод доказательства теоремы (например, метод доказательства от противного) или основную, главную мысль (теорема, свойство), на которой основано доказательство теоремы. Далее записать план доказательства теоремы (можно дать его в таблице).
3. Осуществление плана. По данному выше плану провести доказательство теоремы.
Доказательством называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой последовательности по правилам логического вывода. После этого теорема определяется как предложение, которое является последним в каком-либо доказательстве. С любой теоремой связаны еще три теоремы: прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной (повторить). Структура доказательства как логическая конструкция состоит из таких компонентов: тезис, аргументы, демонстрация.
Тезис - доказываемое утверждение.
Аргументы (основания доказательства) - используемые в доказательстве уже известные утверждения, из которых необходимо следует истинность доказываемого тезиса.
Демонстрация - последовательность расположения аргументов и выводов, образующих цепь умозаключений.
Умозаключение - рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений (называемых посылками умозаключения), выводится новое суждение (называемое заключением или следствием), логически вытекающее из посылок.
Итак, каждое доказательство можно представить в виде цепочки рассуждений или конечной последовательности предложений. Различают два вида доказательств: прямое и косвенное. Прямые доказательства, в свою очередь, делятся на синтетические и аналитические. Методические особенности этих доказательств различны. Исходным моментом синтетического доказательства является условие теоремы. На основе предыдущих предложений и законов логики условие теоремы постепенно преобразуют до тех пор, пока не приходят к заключению. К достоинствам синтетического метода относятся: исчерпывающая полнота, сжатость, краткость (обычно он применяется при изложении уже разработанных математических теорий, известных доказательств или доказательств, отыскание которых не вызывает у учащихся затруднения). Синтетический метод в методическом отношении имеет и свои недостатки. Остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; дополнительные построения никак не аргументируются; учащиеся, слушая или читая доказательство, воспринимают его пассивно, соглашаются с истинностью каждого умозаключения и не представляют, в каком направлении должны протекать дальнейшие рассуждения. Этот способ мало способствует самостоятельному открытию доказательства; идея, план рассуждений остаются скрытыми от учащихся.
Компенсировать отмеченные недостатки синтетического метода помогают следующие методические приемы.
Прием формулирования общего замысла (идеи) доказательства (о чем говорилось выше).
Прием мотивировки дополнительных построений.
Прием приведения плана доказательства.
Прием проведения доказательства с опорой на краткую его запись.
Прием составления блок-схемы доказательства.
Прием составления таблицы с двумя параллельными колонками: "Утверждение" и "На основании" (или "Обоснование") и т.д.
При аналитическом методе доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Разновидностями аналитического метода являются восходящий и нисходящий анализы (повторить).
К косвенным доказательствам относятся:
а) "метод от противного" (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения);
б) разделительный метод (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного).