Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется первообразной для данной функции на промежутке?
2. Как вводится в школьном учебнике определение понятия первообразной?
3. Что такое интегрирование? Какова мотивировка введения этой операции?
4. Каково основное свойство первообразной? Каков его геометрический смысл?
5. В чем сходство и различие производной и первообразной?
6. Что называется криволинейной трапецией?
7. Как найти площадь криволинейной трапеции?

2.9. Методика введения понятия определенного интеграла

План
1. О месте понятия определенного интеграла в курсе “Алгебра и начала анализа” академического лицея.

2. О введении понятия интеграла.
3. Применение интеграла при решении геометрических и физических задач.


1. После ознакомления учащихся в курсе «Алгебра и начала анализа» с понятиями предела и производной, способами их вычисления и некоторыми их применениями учащихся знакомят с понятиями и и основными идеями интегрального исчисления. В теме «Интеграл», на которую отведено 14 часов, рассматриваются вопросы: первообразная функции, интеграл и его применение к нахождению площади, интеграл как предел интегральных сумм, площадь круга и его частей. Кроме того, в курсе «Геометрия» академического лицея учащиеся знакомятся с применением определенных интегралов к вычислению объемов тел. Программа по математике для средней школы не предусматривает систематизации приемов и методов интегрирования и не предполагает выработки навыков и техники интегрирования сложных функций.


2. Как известно, главной методической проблемой, от решения которой не в последнюю очередь зависит усвоение учащимися
элементов интегрального исчисления, является вопрос о способе
введения понятия определенного интеграла в виде приращения
первообразной (как этого требует программа) или в виде предела
интегральных сумм (как это обычно делается в вузе). Первый способ изложения короче и не требует вывода формулы Ньютона —
Лейбница. Однако при этом способе введения понятия определен­ного интеграла идея метода суммирования, лежащая в основе понятия определенного интеграла (так исторически возник определенный интеграл), отходит на второй план. При втором способе
введения понятия определенного интеграла как предела интегральных сумм требуется больше времени на изучение интеграла,
так как требуется провести большую подготовительную работу по
рассмотрению задач, приводящих к понятию определенного интег­рала, а затем рассмотреть теорему Ньютона — Лейбница (ибо без
нее, исходя только из определения, трудно вычислять определенные интегралы как пределы сумм).
Однако при таком подходе к понятию определенного интеграла, т. е. когда он рассматривается как особый вид предела некоторого вида, к нахождению которого сводится решение различных геомет­рических и физических задач, определенный интеграл оказывается более понятным и доступным, а его введение воспринимается уча­щимися как закономерная необходимость.
Дадим краткую характеристику изучения понятия определен­ного интеграла, изложенную различными авторами пробных учеб­ников и учебных пособий для средней школы.
а) В учебном пособии принимается первый ва­риант введения понятия определенного интеграла. Поэтому изло­жение вопроса начинается с изучения первообразной функции (дается определение и доказываются основная теорема и правила нахождения первообразных). Затем рассматривается задача вычис­ления площади криволинейной трапеции; показывается, что для случая неотрицательной пункции f (x) площадь S(х) криволиней­ной трапеции с основанием [a, x] является одной из первообразных этой функции f (х), причем отмечается, что приращение этой перво­образной на отрезке [а, b] равно площади криволинейной трапеции c основанием [а, b].
Затем выражение

где F (х) есть первообразная функции f (х), называют интегралом функции
f (х) в пределах от а до b.
Авторы не употребляют термина «определенный интеграл», хотя используют термин «неопределенный интеграл функции», понимая под ним совокупность всех первообразных этой функции.
Таким образом, введя понятие определенного интеграла через приращение первообразной, авторы тем самым получают и форму­лу Ньютона — Лейбница в готовом виде (т. е. без доказатель­ства—в виде определения). Указав на связь интеграла с площадью криволинейной трапеции, авторы тем самым выясняют геометри­ческий смысл этого интеграла. Наконец, авторы рассматривают интеграл как предел интегральных сумм. Введя понятие площади и рассмотрев ее свойства, далее изучают площадь круга и его час­тей. В заключение рассматривается задача о работе переменной силы, при решении которой используется определенный интеграл.
б) В учебном пособии для Х—XI классов средней школы с ма­тематической специализацией «Математический анализ» Н. Я. Виленкина и С. И. Шварцбурда (М., «Просвещение», 1973) тема «Ин­теграл» изучается в стиле, близком к вузовскому. Изложение на­минается с введения понятия неопределенного интеграла функции f (x) (обозначение: ) как множества всех первообразных пункций для f (х) и рассмотрения его свойств. Затем достаточно полно изучается вопрос об интегрировании функций (интегрирова­ние методом подстановки и интегрирование по частям). Далее рас­сматривается задача о нахождении площади криволинейной трапе­ции, причем проводится доказательство существования этой пло­щади.
Определив понятие нижней и верхней интегральных сумм для непрерывной функции f (х), авторы вводят понятие определенного интеграла непрерывной функции f (х) по отрезку [а, b]. Рассмотрев определенный интеграл как функцию верхнего предела, выводят формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определенного интеграла. Затем рассматривают приложения определенного интег­рала для вычисления площадей плоских фигур; объема цилиндри­ческих тел, объема пирамиды и усеченной пирамиды, объемов тел вращения; объемов тел, у которых известны площади параллельных сечений, площади поверхности вращения, приводят обе теоремы Гюльдена.