Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Касательная к графику функции.

При изучении вопроса о построении касательной к графику функции учителю следует обратить внимание учащихся на следующие два факта.
1. Если производная функции в какой-либо точке существует, то это означает, что к графику функции в этой точке можно провести касательную, и притом одну; если же производная в какой-либо точке не существует, то такой касательной провести нельзя или касательная вертикальна. К примеру, пусть задана функция . Ее производная существует на всей числовой прямой, кроме х=0, и мы можем заметить, что и касательная к кривой в этой точке вертикальна.
2. Если производная функции в какой-либо точке равна 0, то это означает, что угловой коэффициент касательной, проведенный к графику функции в этой точке, равен нулю, а из этого в свою очередь следует, что касательная, проведенная к графику функции, в этой точке параллельна оси Ох.
Уяснение учащимися этих двух фактов облегчит им в дальнейшем построение графиков функций.

3. 
   Исследование функции с помощью производной проводится по общей схеме:
   

а) нахождение области определения функции;
б) нахождение производной функции;
в) нахождение критических точек данной функции;
г) нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции;
д) построение графика функции.
Следует отметить, что первые четыре части плана не вызывают у учащихся затруднений. Значительно большую сложность для них представляет пятый пункт плана, когда учащийся по уже проведенному исследованию, оформленному в виде таблицы, должен построить график функции.
При этом наибольшее число ошибок учащиеся допускают при построении графика в экстремальных точках и точках, близлежащих к ним. Проанализируйте, какие ошибки могут допустить учащиеся при построении графика функции .
Эти ошибки происходят из-за того, что учащиеся при построении графика функции берут во внимание лишь характер монотонности функции и то, какой экстремум имеет функция в той или иной экстремальной точке, забывая при этом учесть, существует ли производная функции в этих точках, и если да, то каково ее значение.
Действительно, график построен так, что в точках (-1;-4);(0;-3);(1;-4) к кривой нельзя провести касательные, в то время как производная функции существует (она равна нулю), а значит, проведение касательных возможно.
Следовательно, при построении графика функции учащиеся должны уметь сопоставить ход кривой в окрестностях экстремальных точек с тем, возможно ли проведение касательных или нет, причем в случае равенства нулю производной функции в этих точках касательные должны быть параллельны оси Ох.
Так, в данном случае при построении графика функции учащиеся оформляют проведенное исследование в виде таблицы. Затем строят в системе координат точки (-1; -4); (0; -3); (1; -4) и график функции.

Х	(-∞; 1)	1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
y'(x)	-	0	+	0	-	0	+
y(x)		-4		-3		-4
		min		max		min