Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Роль аксиом в построении школьного курса геометрии

Одна из целей включения аксиом в школьный учебник - сформировать базу для построения доказательств. Удачно подобранная система аксиом призвана обеспечить рациональное и простое построение всего курса. На наш взгляд, аксиомы должны быть ориентированы как на изложение традиционно-синтетической, так и аналитической частей учебного курса.
Необходимо иметь в виду, что в качестве аксиом обычно выбираются уже известные из пропедевтического курса факты или факты, близкие к наглядным представлениям учащихся, их жизненному опыту. При этом новым для учащихся является главным образом не содержание аксиом, а предельно точный математический язык, на котором они формулируются. Приведение аксиом в начале курса означает систематизацию ранее известных знаний и дополнение их новыми знаниями. В начале курса происходит активное усвоение учащимися математической терминологии, необходимой для изучения всего курса.
Дидактические формы приведения аксиом в учебнике могут быть различными. Не следует стремиться к формальному стилю их изложения. Пример неформального введения аксиом дает учебник геометрии А. П. Киселева. В этом учебнике в начале курса приводится немало аксиом, но явно выделяются и нумеруются только те из них, которые систематически используются в дальнейшем изложении.
В пособии А. В. Погорелова приводятся аксиомы принадлежности, порядка, измерения отрезков и углов, откладывания отрезков и углов, существования треугольника, равного данному, параллельности. Наличие аксиом измерения максимально упростило чрезвычайно трудный в математическом отношении вопрос о введении меры для отрезков и углов. Аксиомы откладывания отрезков и углов позволили строго доказать признаки равенства треугольников, что редко встречается в школьном учебнике. Предпринята попытка усилить роль аксиом порядка при изложении курса геометрии. Заметим, что целесообразность этого новшества признается не всеми. Тщательное обоснование предложений порядка в доказательствах, например, теоремы о сумме углов треугольника и теоремы Фалеса усложнило их и обострило проблему доступности изложения. В последнем издании указанного пособия имеют место определенные ограничения сферы применения этих аксиом.

3.