t2 =Тг (рис. 2).
В простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна, т. е, const для t Є [T1, Тг], то путь, пройденный телом, равен (по определению, известному из курса физики) произведению скорости на время движения: s = (T2 — T1). В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом.
Промежуток изменения времени [T1, Тг] разбивают точками to = Т1, t1, t2, ..., tn-1, tn = Тг (t0 < t1 < ... < tn) на n отрезков [ti-1, ti] (i = 1, 2, ..., n) одинаковой длины
Далее, выбрав на каждом отрезке [ti-1, ti] произвольную точку , составляют сумму (*). Каждое слагаемое этой суммы дает приближение пути, пройденного телом за время от t = ti-1 до t = ti. Действительно, скорость в точках отрезка [ti-1, ti] мало отличается от ее значения в точке так как функция непрерывна. Поэтому путь, который прошло тело за промежуток времени [ti-1, ti], приближенно равен пути, который проходит тело за это время с постоянной скоростью, равной . Следовательно, путь, пройденный телом за время от t = T1 до t = Тг, приближенно выражается суммой (*):
так как он складывается из путей, пройденных телом за каждый промежуток времени [ti-1, ti], на которые разбит отрезок времени [T1, Тг]. Легко видеть, что приближение будет тем лучше, чем мельче отрезки деления [ti-1, ti]
(i = 1, 2, ..., n).
Поэтому путь, пройденный телом за отрезок времени [Т1, Т2], определяется как предел следующего вида:
Если учащимся известно понятие интеграла, то путь, пройденный телом, можно вычислить по формуле .
Задача о силе давления жидкости
Пусть пластинка в виде трапеции погружена вертикально в жидкость с удельным весом у так, что ее основания параллельны свободной поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня соответственно на расстоянии а и b (рис. 3). Требуется определить силу давления жидкости на пластинку. Если бы пластинка находилась в горизонтальном положении на глубине h от свободной поверхности (уровня) жидкости, то сила давления жидкости F на пластинку была бы равна весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластинку, а высотой — глубину h, т. е.
(*)
где S — площадь пластинки. Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то по формуле (*) давление жидкости на пластинку не может быть вычислено, так как в этом случае давление жидкости на единицу площади пластинки изменяется с глубиной погружения. При решении задачи будем учитывать закон Паскаля, т. е. то, что давление жидкости передается во все стороны одинаково. Для решения задачи разобьем пластинку на n частей (малых горизонтальных полосок) прямыми, параллельными свободной поверхности жидкости (т. е. параллельно оси Оу) и проходящими через точки: х0 = а, x1, хг,..., хп-1,xn =b(x012<…n-1n ),
Выделим одну из полосок — i-ю (на рисунке она заштрихована), находящуюся на глубине xi. Для достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно считать приближенно одинаковым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски. Легко видеть, что основание прямоугольника зависит от глубины погружения полоски, т. е. будет функцией абсциссы х. Обозначим эту функцию f(х), х Є [а; b]. Таким образом, силу давления на полоску можно вычислить по формуле (*), т. е. имеем:
Просуммировав силы давления жидкости на все полоски, найдем некоторое приближение силы давления жидкости на всю пластинку:
Точное значение силы давления жидкости на пластинку определяется по формуле
Следовательно, если учащиеся знакомы с понятием интеграла, сила давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле
Далее, если еще не было введено понятие (определенного) интеграла, следует переходить к рассмотрению этого понятия следующим образом. Итак, нами рассмотрены задачи (геометрическая и физические), решение которых производилось с помощью одной и той же последовательности действий (одним и тем же методом), приводящей к построению некоторой суммы и нахождению предела этой суммы. Так как указанный метод применяется к решению большого числа математических и прикладных задач, то, естественно изучить его, абстрагируясь от конкретного содержания задач. Сущность этого метода состоит в следующем:
1) Пусть на отрезке [а, b] задана произвольная однозначная
ограниченная функция f (х). Отрезок [а, b] разбивается на п частей
[ai-1, ai] (i = 1, 2,..., n) одинаковой длины
точками а0 = а, а1 а2, ..., ап-1, ап=b причем а0 < а1 < аг < ... ... < an-1 < ап.
На каждом из отрезков разбиения [ai-1, ai] (i= 1, 2, ..., п) выбирается произвольная точка xi и для каждого отрезка разбиения составляется произведение значения функции f(х) в выбранной точке xi на длину соответствующего отрезка [ai-1, ai], т. е. произведение вида f (хi) (ai – ai-1)= f(xi) .
Берется сумма всех таких произведений: , называемая интегральной суммой функции f (х) на отрезке [а, b].
4) Находится предел интегральных сумм sn (a; b), т. е.
Рассматриваемый предел, если он существует, носит название определенного интеграла и обозначается
После всего сказанного можно формулировать определение интеграла как некоторого предела интегральных сумм.
Do'stlaringiz bilan baham: |