Учебное пособие "Методика преподавания математики"



Download 2,37 Mb.
bet105/148
Sana09.05.2023
Hajmi2,37 Mb.
#936410
TuriУчебное пособие
1   ...   101   102   103   104   105   106   107   108   ...   148
Bog'liq
МПМ

t2 =Тг (рис. 2).

В простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна, т. е, const для t Є [T1, Тг], то путь, пройденный телом, равен (по определению, известному из курса физики) произведению скорости на время движения: s = (T2 — T1). В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим об­разом.


Промежуток изменения времени [T1, Тг] разбивают точками to = Т1, t1, t2, ..., tn-1, tn = Тг (t0 < t1 < ... < tn) на n отрез­ков [ti-1, ti] (i = 1, 2, ..., n) одинаковой длины

Далее, выбрав на каждом отрезке [ti-1, ti] произвольную точку , составляют сумму (*). Каждое слагаемое этой суммы дает приближение пути, пройден­ного телом за время от t = ti-1 до t = ti. Действительно, скорость в точках отрезка [ti-1, ti] мало отличается от ее значения в точ­ке так как функция непрерывна. Поэтому путь, который прошло тело за промежуток времени [ti-1, ti], приближенно равен пути, который проходит тело за это время с постоянной скоростью, равной . Следовательно, путь, пройденный телом за время от t = T1 до t = Тг, приближенно выражается суммой (*):

так как он складывается из путей, пройденных телом за каждый промежуток времени [ti-1, ti], на которые разбит отрезок времени [T1, Тг]. Легко видеть, что приближение будет тем лучше, чем мель­че отрезки деления [ti-1, ti]
(i = 1, 2, ..., n).
Поэтому путь, пройденный телом за отрезок времени 1, Т2], определяется как предел следующего вида:

Если учащимся известно понятие интеграла, то путь, пройденный телом, можно вычислить по формуле .
Задача о силе давления жидкости
Пусть пластинка в виде трапеции погружена вертикально в жидкость с удельным весом у так, что ее основания параллельны свободной поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня соот­ветственно на расстоянии а и b (рис. 3). Требуется определить силу давления жидкости на пластинку. Если бы пластинка находи­лась в горизонтальном положении на глубине h от свободной поверх­ности (уровня) жидкости, то сила давления жидкости F на пластин­ку была бы равна весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластинку, а высотой — глубину h, т. е.
(*)
где S — площадь пластинки. Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то по формуле (*) давление жидкос­ти на пластинку не может быть вычислено, так как в этом слу­чае давление жидкости на еди­ницу площади пластинки изме­няется с глубиной погружения. При решении задачи будем учитывать закон Паскаля, т. е. то, что давление жидкости передается во все стороны одинаково. Для решения задачи разобьем пластинку на n частей (малых горизонтальных полосок) прямыми, параллельными свободной поверхности жидкости (т. е. параллельно оси Оу) и проходящими через точки: х0 = а, x1, хг,..., хп-1,xn =b(x012<…n-1n ),
Выделим одну из полосок — i-ю (на рисунке она заштрихо­вана), находящуюся на глубине xi. Для достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно считать приближенно одинако­вым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски. Легко ви­деть, что основание прямоугольника зависит от глубины погру­жения полоски, т. е. будет функцией абсциссы х. Обозначим эту функцию f(х), х Є [а; b]. Таким образом, силу давления на полоску можно вычислить по формуле (*), т. е. имеем:
Просуммировав силы давления жидкости на все полоски, най­дем некоторое приближение силы давления жидкости на всю плас­тинку:

Точное значение силы давления жидкости на пластинку опре­деляется по формуле



Следовательно, если учащиеся знакомы с понятием интеграла, сила давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле

Далее, если еще не было введено понятие (определенного) ин­теграла, следует переходить к рассмотрению этого понятия следую­щим образом. Итак, нами рассмотрены задачи (геометрическая и физические), решение которых производилось с помощью одной и той же последовательности действий (одним и тем же методом), приводящей к построению некоторой суммы и нахождению предела этой суммы. Так как указанный метод применяется к реше­нию большого числа математических и прикладных задач, то, естественно изучить его, абстрагируясь от конкретного содержа­ния задач. Сущность этого метода состоит в следующем:
1) Пусть на отрезке [а, b] задана произвольная однозначная
ограниченная функция f (х). Отрезок [а, b] разбивается на п частей
[ai-1, ai] (i = 1, 2,..., n) одинаковой длины
точками а0 = а, а1 а2, ..., ап-1, ап=b причем а0 < а1 < аг < ... ... < an-1 < ап.
На каждом из отрезков разбиения [ai-1, ai] (i= 1, 2, ..., п) выбирается произвольная точка xi и для каждого отрезка разбие­ния составляется произведение значения функции f(х) в выбран­ной точке xi на длину соответствующего отрезка [ai-1, ai], т. е. произведение вида f (хi) (ai – ai-1)= f(xi) .
Берется сумма всех таких произведений: , называемая интегральной суммой функции f (х) на отрезке [а, b].
4) Находится предел интегральных сумм sn (a; b), т. е.

Рассматриваемый предел, если он существует, носит название определенного интеграла и обозначается

После всего сказанного можно формулировать определение интеграла как некоторого предела интегральных сумм.



Download 2,37 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   101   102   103   104   105   106   107   108   ...   148




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish