3. Рассмотрим некоторые задачи из геометрии и физики, которые при первом подходе к введению понятия интеграла (т. е. как приращению первообразной) следует рассмотреть в конце темы «Интеграл» как иллюстрацию связи интеграла с физикой и геометрией, а при втором подходе (т. е. когда интеграл рассматривается как предел интегральных сумм) с них целесообразно начинать, т. е. использовать их как задачи, приводящие к понятию интеграла.
К числу таких задач следует отнести, прежде всего, такие важнейшие задачи, как задача о площади плоской фигуры, задача о вычислении пути, задача о силе давления жидкости и др. Разберем эти задачи.
Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой координат, задана фигура аАВb, ограниченная отрезком [а, b] оси Ох,
Это есть приближение площади криволинейной трапеции аАВb. Очевидно, что, чем мельче отрезки деления [ai-1, ai] (i = 1, 2, ... .... п), тем лучше будет приближение. Поэтому, если рассмотреть, то получим площадь криволинейной трапеции. Если понятие интеграла уже введено, то можно записать, что площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле
Задача о вычислении пути
Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , т. е. известна скорость точки в любой момент времени t, - непрерывная функция на отрезке [T1, Тг]. Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от tL= Т1 до