Учебное пособие Казань 2013 ббк 22. 171я73 Печатается по решению Редакционно-издательского совета



Download 197,49 Kb.
Pdf ko'rish
bet8/13
Sana26.05.2022
Hajmi197,49 Kb.
#610116
TuriУчебное пособие
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
Bog'liq
PLM part2

Пример 3.6.
Рассмотрим распределение Максвелла (1.10), кото-
рое описывает распределение частиц в газе по абсолютной величине ско-
рости:
p
(
v
) =

2
m
3
π
(
kT
)
3
v
2
exp
(

mv
2
2
kT
)
.
(3.15)
Здесь и далее в этом примере мы используем
«
физические
»
обозначения:
v

скорость частицы,
m

ее масса,
T

температура,
k

постоянная
Больцмана. Очевидно, что формула (3.15) имеет смысл, когда
v
>
0
. Если
v
отрицательно, то
p
(
v
) = 0
.
Найдем числовые характеристики данного распределения. Мате-
матическое ожидание, оно же средняя скорость частицы, обозначается

v

или
¯
v
1)
.

v

=


0
vp
(
v
) d
v
=

8
m
πkT
.
Второй начальный момент дает квадрат средней квадратичной скорости,
то есть

v
кв

=


v
2

.

v
2

=


0
v
2
p
(
v
) d
v
=
3
kT
m
=


v
кв

=

3
kT
m
.
1)
Ниже будем для обозначения среднего будем использовать только угловые скобки.


31
Для нахождения моды найдем производную от плотности распределения
и приравняем ее к нулю, откуда получим значение
v
в
=

2
kT
m
,
которое называют наиболее вероятной скоростью.
Чтобы найти медиану
V
данного распределения нужно решить
уравнение
V

0
p
(
v
) d
v
=
1
2
.
(3.16)
Удобно ввести безразмерную величину
u
=
V

m/kT
. Тогда проинтегри-
ровав по частям (3.16), получим трансцендентное уравнение
2Φ(
u
)


2
π
ue

u
2
/
2
=
1
2
,
численное решение которого дает
u

1
,
538
. Таким образом,
V


2
,
37
kT /m
, то есть значение
V
лежит между наиболее вероятной и сред-
ней скоростью. В зависимости от задачи, все найденные характеристики
могут рассматриваться в качестве центра распределения.
§ 4
Характеристические функции
Комплекснозначной случайной величиной называется функция
ξ
(
ω
) +

(
ω
)
, где
ξ
и
η

действительные случайные величины, заданные
на множестве событий

. Математическое ожидание комплекснозначной
случайной величины вычисляется по формуле
M
(
ξ
+

) =
M
ξ
+
i
M
η
и удовлетворяет всем свойствам математического ожидания, полученным
в разделе 3.1.
Характеристической функцией
случайной величины
ξ
называ-
ется комплексная функция действительного аргумента
f
ξ
(
t
) =
M
e
iξt
.
(4.1)


32
§ 4
Характеристические функции
Если
ξ

дискретная случайная величина, то из (4.1) следует
f
ξ
(
t
) =


n
=1
e
ix
n
t
P
(
ξ
=
x
n
)
.
(4.2)
Для непрерывной случайной величины характеристическая функция вы-
числяется по формуле
f
ξ
(
t
) =


−∞
e
ixt
p
ξ
(
x
) d
x.
(4.3)
Теорема 4.1.
Характеристическая функция обладает следующими
свойствами:
1. Характеристическая функция определена и непрерывна на всей чис-
ловой прямой и удовлетворяет соотношениям
|
f
(
t
)
|
6
1
,
f
(0) = 1
.
2. Если
η
=

+
b
, где
a
и
b

постоянные, то
f
η
(
t
) =
e
ibt
f
ξ
(
at
)
.
3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных
величин
ξ
и
η
равна произведению их характеристических функций:
f
ξ
+
η
(
t
) =
f
ξ
(
t
)
f
η
(
t
)
.
4. Соответствие между множеством характеристических функций и
множеством функций распределения является взаимно однознач-
ным.
Доказательство.
1. При любом действительном
t
имеет место
|
e
it
|
= 1
.
Используя свойство (3.6) математического ожидания, получим
|
f
ξ
(
t
)
|
6
M
|
e
iξt
|
= 1
.
2. Справедливость этого утверждения следует из
f
η
(
t
) =
M
e
it
(

+
b
)
=
e
ibt
M
e
iatξ
=
e
ibt
f
ξ
(
at
)
.


33
3. Используя теорему 2.5, найдем, что
f
ξ
+
η
(
t
) =
M
e
i
(
ξ
+
η
)
t
=
M
e
iξt
e
iηt
=
M
e
iξt
M
e
iηt
=
f
ξ
(
t
)
f
η
(
t
)
.
Заметим, что это свойство легко обобщить на сумму любого конечного
числа независимых случайных величин.
4. Доказательство утверждения 4 приводится, например в [1].
Следующая теорема позволяет использовать характеристическую
функцию для вычисления моментов случайной величины.
Теорема 4.2.
Если случайная величина
ξ
имеет абсолютный момент
n
-го порядка, то есть
M
|
ξ
|
n
<

, то характеристическая функция ве-
личины
ξ
дифференцируема
n
раз и при
k
6
n
f
(
k
)
(0) =
i
k
M
ξ
k
.
(4.4)
Доказательство.
Пусть
ξ

непрерывная случайная величина. Тогда ха-
рактеристическая функция вычисляется по формуле (4.3). Покажем, что
можно дифференцировать под знаком интеграла. Поскольку
i


−∞
xe
ixt
p
ξ
(
x
) d
x
6


−∞
|
x
|
e
ixt
p
ξ
(
x
) d
x
=
M
|
ξ
|
<

,
то интеграл в левой части неравенства сходится равномерно по
t
. Следо-
вательно,
f

ξ
(
t
) =
i


−∞
xe
ixt
p
ξ
(
x
) d
x,
f

ξ
(0) =
i
M
ξ.
Аналогично доказывается равномерная сходимость интегралов
i
k


−∞
x
k
e
ixt
p
ξ
(
x
) d
x,
k
6
n
и справедливость формулы (4.4).
Если
ξ

дискретная случайная величина, то для доказательства
теоремы необходимо показать равномерную сходимость рядов
i
k


n
=1
x
k
n
e
ix
n
t
P
(
ξ
=
x
n
)
,
k
6
n,


34
§ 5
Предельные теоремы
которая позволяет почленно дифференцировать ряд (4.2).
Пример 4.1.
Характеристическая функция биномиального
распределения.
Случайная величина
ξ
принимает целые значения
k
=
0
,
1
,
2
, . . . , n
с вероятностью
p
k
=
C
k
n
p
k
q
n

k
. По определению (4.1)
f
(
t
) =
M
e
iξt
=
n

k
=0
C
k
n
p
k
q
n

k
e
ikt
=
n

k
=0
C
k
n
(
pe
it
)
k
q
n

k
=
= (
pe
it
+
q
)
n
.
Пример 4.2.
Характеристическая функция нормального рас-
пределения с параметрами
(
a, σ
2
)
.
По определению (4.1)
f
(
t
) =
M
e
iξt
=
1

2
π


−∞
e

(
x

a
)
2
/
2
σ
2
e
ixt
d
x
=
=
1

2
π


−∞
e

(
x
2

2(
a
+
itσ
2
)
x
+
a
2
)
/
2
σ
2
d
x
=
=
1

2
π


−∞
exp
{

(
x

a

itσ
2
)
2
2
σ
2
+
iat

σ
2
t
2
2
}
d
x.
Сделаем замену переменной
y
= (
x

a

itσ
2
)

:
f
(
t
) =
e
iat

σ
2
t
2
/
2
1

2
π


−∞
e

y
2
/
2
d
x
=
e
iat

σ
2
t
2
/
2
.
Вычислить моменты этих распределений с помощью формулы (4.4)
читателю предоставляется самостоятельно в качестве простого упражне-
ния.

Download 197,49 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish