Учебное пособие Казань 2013 ббк 22. 171я73 Печатается по решению Редакционно-издательского совета

§ 5
Предельные теоремы
5.1
Закон больших чисел
Угадать, какое значение примет случайная величина в результате
испытании невозможно
—
это зависит от многих причин, учесть которые

---

5.1.
Закон больших чисел
35
мы не в состоянии. Казалось бы, что не стоит ожидать никаких законо-
мерностей в поведении и суммы достаточно большого числа случайных
величин. Однако, оказывается, что при некоторых сравнительно широ-
ких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случай-
ных величин почти утрачивает случайный характер и становится законо-
мерным. Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название
закона больших чисел.
Закон больших чисел имеет большое теоретическое и практическое
значение. Именно он лежит в основе статистического определения веро-
ятности, которое рассматривается как предел частоты появления собы-
тия и на нем базируются статистические методы анализа массовых явле-
ний.
Теорема 5.1.
Пусть
ξ
—
неотрицательная случайная величина. Если
существует
M
ξ
, то для любого
ε >
0
P
(
ξ
>
ε
)
6
M
ξ
ε
.
(5.1)
Доказательство.
Проведем доказательство для непрерывной случайной
величины. Согласно определению математического ожидания
M
ξ
≡
∫
∞
−∞
xp
ξ
(
x
) d
x
=
∫
∞
0
xp
ξ
(
x
) d
x,
так как случайная величина
ξ
неотрицательна. Для любого положитель-
ного числа
ε
имеют место следующие неравенства
∫
∞
0
xp
ξ
(
x
) d
x
6
∫
∞
ε
xp
ξ
(
x
) d
x
6
ε
∫
∞
ε
p
ξ
(
x
) d
x.
Последний интеграл равен
P
(
ξ
>
ε
)
.