Учебное пособие Казань 2013 ббк 22. 171я73 Печатается по решению Редакционно-издательского совета



Download 197,49 Kb.
Pdf ko'rish
bet5/13
Sana26.05.2022
Hajmi197,49 Kb.
#610116
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
PLM part2

3.2
Дисперсия
Дисперсией
случайной величины
ξ
называют число, равное мате-
матическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
D
ξ
=
M
(
ξ

M
ξ
)
2
.
(3.7)
Дисперсию также удобно вычислять по формуле:
D
ξ
=
M
ξ
2

(
M
ξ
)
2
,
(3.8)
которая получается из (3.7) путем несложных вычислений с использова-
нием свойств математического ожидания.
Теорема 3.2.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия является неотрицательной величиной:
D
ξ
>
0
.
2. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D
C
= 0
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, пред-
варительно возведя его в квадрат:
D
(

) =
C
2
D
ξ.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин
ξ
и
η
равна сум-
ме дисперсий слагаемых:
D
(
ξ
+
η
) =
D
ξ
+
D
η.
(3.9)


3.3.
Ковариация и коэффициент корреляции
21
Доказательство.
Свойства 1

3 следуют непосредственно из свойств ма-
тематического ожидания. Для доказательства формулы (3.9) запишем
D
(
ξ
+
η
) =
M
[(
ξ
+
η
)

M
(
ξ
+
η
)]
2
=
M
[(
ξ

M
ξ
) + (
η

M
η
)]
2
=
=
M
(
ξ

M
ξ
)
2
+
M
(
η

M
η
)
2
+ 2
M
(
ξ

M
ξ
)(
η

M
η
)
.
Так как случайные величины
ξ
и
η

независимы, то независимы случай-
ные величины
ξ

M
ξ
и
η

M
η
. Следовательно,
M
(
ξ

M
ξ
)(
η

M
η
) =
M
(
ξ

M
ξ
)
·
M
(
η

M
η
) =
= (
M
ξ

M
ξ
)(
M
η

M
η
) = 0
и
D
(
ξ
+
η
) =
M
(
ξ

M
ξ
)
2
+
M
(
η

M
η
)
2
=
D
ξ
+
D
η.
Средним квадратическим отклонением
случайной величины
называют квадратный корень из дисперсии:
σ
ξ
=

D
ξ.
3.3
Ковариация и коэффициент корреляции
Ковариацией (корреляционным моментом)
случайных величин
ξ
и
η
называют число
cov
(
ξ, η
) =
M
(
(
ξ

M
ξ
)(
η

M
η
)
)
.
(3.10)
Используя свойства математического ожидания, легко получить другую
формулу для вычисления ковариации:
cov
(
ξ, η
) =
M
ξη

M
ξ
M
η.
(3.11)


22
§ 3
Числовые характеристики случайных величин
Теорема 3.3.
Ковариация обладает следующими свойствами:
1. Ковариация не меняется при перестановке случайных величин:
cov
(
ξ, η
) =
cov
(
η, ξ
)
.
2. Если
C
=
const, то cov
(
ξ, C
) = 0
.
3. Если случайные величины
ξ
и
η
независимы, то cov
(
ξ, η
) = 0
.
4. cov
(
ξ, ξ
) =
D
ξ.
5. Ковариация линейна по каждому из своих аргументов:
cov
(
C
1
ξ
1
+
C
2
ξ
2
, η
) =
C
1
cov
(
ξ
1
, η
) +
C
2
cov
(
ξ
2
, η
)
,
где
C
1
, C
2
=
const.
Доказательства этих свойств следуют непосредственно из опреде-
ления (3.10) или формулы (3.11).
Для произвольных случайных величин
ξ
и
η
D
(
ξ
+
η
) =
D
ξ
+
D
η
+ 2
cov
(
ξ, η
)
.
(3.12)
Формулу (3.12) легко получить самостоятельно по аналогии с доказа-
тельством свойства дисперсии (3.9) с учетом определения (3.10).
Теорема 3.4.
Если для случайных величин
ξ
1
и
ξ
2
существуют
cov
(
ξ
i
, ξ
j
) =
σ
ij
,
i, j
= 1
,
2
, то при любых постоянных
C
1
и
C
2
D
(
C
1
ξ
1
+
C
2
ξ
2
) =
2

i,j
=1
C
i
C
j
σ
ij
.
(3.13)
Доказательство.
Согласно формуле (3.12) и свойствам дисперсии и ко-
вариации, дисперсия суммы
D
(
C
1
ξ
1
+
C
2
ξ
2
) =
C
2
1
D
ξ
1
+
C
2
2
D
ξ
2
+ 2
C
1
C
2
cov
(
ξ
1
, ξ
2
)
.
Используя обозначения, введенные в теореме, последнее равенство легко
переписать в виде (3.13).
Правую часть (3.13) можно рассматривать как квадратичную фор-
му от двух переменных
C
1
и
C
2
. В силу неотрицательности дисперсии эта
форма неотрицательно определена. Необходимым и достаточным усло-
вием неотрицательности квадратичной формы двух переменных являет-
ся неотрицательность всех главных миноров матрицы квадратичной фор-
мы. В данном случае такими минорами являются дисперсии
σ
11
=
D
ξ
1
и


3.3.
Ковариация и коэффициент корреляции
23
σ
22
=
D
ξ
2
, а также определитель
|
σ
ij
|
=
σ
11
σ
22

σ
2
12
=
D
ξ
1
D
ξ
2

[
cov
(
ξ
1
, ξ
2
)]
2
.
(3.14)
Из неотрицательности определителя (3.14) следует, что
|
cov
(
ξ
1
, ξ
2
)
|
6

D
ξ
1
D
ξ
2
.
Коэффициентом корреляции
величин
ξ
и
η
называют отношение
ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих ве-
личин:
ρ
ξη
=
cov
(
ξ, η
)

D
ξ
D
η
.
Коэффициент корреляции

безразмерная величина, причем
|
ρ
ξη
|
6
1
.
Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты
линейной
связи
между
ξ
и
η
: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреля-
ции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина ко-
эффициента корреляции к нулю, тем связь слабее. Коэффициент корре-
ляции равен 1 тогда и только тогда, когда случайные величины линейно
связаны
1)
. Если коэффициент корреляции равен нулю, то величины на-
зывают
некоррелированными
. Из независимости двух величин следует
их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать
вывод о независимости этих величин. Покажем это на следующем приме-
ре.
Пример 3.1.
Случайная величина
ξ
имеет закон распределения
x
i
0
π/
2
π
p
i
1
/
3 1
/
3 1
/
3
Найти ковариацию случайных величин
η
= cos
ξ
и
ζ
= sin
ξ
. Являются ли
они независимыми?
Решение.
Запишем явно законы распределения случайных величин
η
и
ζ
:
y
i

1
0
1
p
i
1
/
3 1
/
3 1
/
3
z
i
0
1
p
i
2
/
3 1
/
3
и закон их совместного распределения
1)
Доказательство этого утверждения не приводится. Оно составляет содержание задач 136 и 137 в [7].


24
§ 3
Числовые характеристики случайных величин
HH
HH
HH
H
H
z
i
y
i
-1
0
1
0
1/3
0
1/3
1
0
1/3
0
Легко видеть, что
M
ηζ
= 0
,
M
η
= 0
и
M
ζ
= 1
/
3
. По формуле (3.11)
находим, что cov
(
η, ζ
) = 0
, то есть случайные величины
η
и
ζ
некоррели-
рованы.
Зависимость случайных величин
η
и
ζ
следует из того факта, что
условие (2.6) выполнено не для всех значений. Например,
P
(
η
= 0
, ζ
=
0) = 0
, тогда как
P
(
η
= 0) = 1
/
3
и
P
(
ζ
= 0) = 2
/
3
.
Заметим, что для некоторых распределений понятия независимо-
сти и некоррелированности являются эквивалентными. В частности, если
случайные величины
ξ
и
η
имеют нормальное распределение и
ρ
ξη
= 0
, то
они независимы.
3.4
Моменты случайных величин
Начальным моментом порядка
k
случайной величины
ξ
называ-
ют математическое ожидание величины
ξ
k
:
α
k
=
M
ξ
k
.
Центральным моментом порядка
k
случайной величины
ξ
назы-
вают математическое ожидание величины
(
ξ

M
ξ
)
k
:
µ
k
=
M
(
ξ

M
ξ
)
k
.
Начальным моментом порядка
k
+
m
случайного вектора
(
ξ, η
)
называют математическое ожидание величины
ξ
k
η
m
:
α
k,m
=
M
(
ξ
k
η
m
)
.
Центральным моментом порядка
k
+
m
случайного вектора
(
ξ, η
)
называют математическое ожидание произведения отклонений со-
ответственно
k
-й и
m
-й степеней:
µ
k,m
=
M
(
(
ξ

M
ξ
)
k
(
η

M
η
)
m
)
.
Ранее мы уже познакомились с некоторыми моментами распреде-
лений. Например,
α
1
=
M
ξ
,
µ
2
=
D
ξ
, а
µ
1

0
. Для случайного вектора
(
ξ, η
)
начальные моменты
α
1
,
0
=
M
ξ, α
0
,
1
=
M
η
, а центральные моменты
µ
0
,
1
=
µ
1
,
0
= 0
, µ
2
,
0
=
D
ξ, µ
0
,
2
=
D
η
.


3.5.
Числовые характеристики некоторых распределений
25

Download 197,49 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish