Учебное пособие Казань 2013 ббк 22. 171я73 Печатается по решению Редакционно-издательского совета

3.6
Прочие числовые характеристики
В разделах 3.1
–
3.3 подробно рассматривались моменты распреде-
ления первого и второго порядков. В этом параграфе мы познакомимся
с некоторыми числовыми характеристиками, сконструированными на ос-
нове моментов третьего и четвертого порядка, а также с рядом других ве-
личин.
Коэффициент асимметрии
(или, просто, асимметрия)
—
это чис-
ло
ν
1
=
µ
3
/µ
3
/
2
2
. Как видно из названия, оно характеризует асимметрию
распределения случайной величины. Если
ν
1
= 0
, то распределение сим-
метрично относительно математического ожидания. При отрицательной
асимметрии вероятность того, что случайная величина примет значение
меньше среднего больше
1
/
2
, при положительной
—
меньше.
Коэффициент эксцесса
(эксцесс)
—
число
ν
2
=
µ
4
/µ
2
2
−
3
, служит
мера остроты пика распределения случайной величины. Для нормального
распределения
ν
2
= 0
. Положительное значение эксцесса соответствует
более более острому пику около математического ожидания, отрицатель-
ное
—
более гладкому.
Мода.
Для дискретного распределения модой называется значение
случайной величины, имеющей наибольшую вероятность. Для непрерыв-
ного распределения мода
—
это точка локального максимума плотности
распределения. Распределение может иметь несколько мод.

---

30
§ 3
Числовые характеристики случайных величин
Медиана.
Для непрерывного распределения медиана
—
это зна-
чение
x
случайной величины, для которого выполнено условие
F
(
x
) =
P
(
ξ < x
) = 1
/
2
или, что то же самое,
P
(
ξ < x
) =
P
(
ξ
>
x
)
. Для дискрет-
ного распределения эти определения могут не работать; тогда в качестве
медианы может быть выбрано любое число, лежащее между соседними
значениями случайной величины
x
k
и
x
k
+1
, для которых
F
(
x
k
)
<
1
/
2
и
F
(
x
k
+1
)
>
1
/
2
.
Квантиль
—
значение, которое заданная случайная величина не
превышает с фиксированной вероятностью. Если распределение непре-
рывно, то
α
-квантиль однозначно задаётся уравнением
F
(
x
) =
α
. Таким
образом, медиана является
0
,
5
-квантилем распределения. В математиче-
ской статистике квантили используются для построения доверительных
интервалов, оценки гипотез и т. д.