Учебное пособие Казань 2013 ббк 22. 171я73 Печатается по решению Редакционно-издательского совета



Download 197,49 Kb.
Pdf ko'rish
bet4/13
Sana26.05.2022
Hajmi197,49 Kb.
#610116
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
PLM part2

2.2
Функции случайных величин
Пусть на вероятностном пространстве
(Ω
,
A
,
P
)
задана некоторая
случайная величина
ξ
(
ω
)
, и пусть
φ
(
x
)

числовая функция, заданная на
действительной оси. Суперпозиция функций
ξ
(
ω
)
и
φ
(
x
)
,
η
=
φ
(
ξ
(
ω
))
,
называется
функцией случайной величины
ξ
(обозначается
η
=
φ
(
ξ
)
),
если для любого действительного числа
x
событие
{
η < x
} ∈
A
.


16
§ 2
Система двух случайных величин
Теорема 2.5.
Пусть случайные величины
ξ
1
и
ξ
2
независимы, а
φ
1
(
x
)
и
φ
2
(
x
)

произвольные числовые функции. Тогда случайные величины
η
1
=
φ
1
(
ξ
1
)
и
η
2
=
φ
2
(
ξ
2
)
также независимы.
Доказательство.
Обозначим полуинтервалы
D
1
= [
a, b
)
и
D
2
= [
c, d
)
.
Пусть
η
1

D
1
и
η
2

D
2
. Тогда
P
(
η
1

D
1
, η
2

D
2
) =
P
(
φ
1
(
ξ
1
)

D
1
, φ
2
(
ξ
2
)

D
2
) =
=
P
(
ξ
1

φ

1
1
(
D
1
)
, ξ
2

φ

1
2
(
D
2
))
.
(2.10)
Аналогично,
P
(
η
i

D
i
) =
P
(
ξ
i

φ

1
i
(
D
i
))
,
i
= 1
,
2
.
(2.11)
В силу независимости
ξ
1
и
ξ
2
выполнено условие (2.7), которое примени-
тельно к рассматриваемым интервалам может переписано в виде
P
(
ξ
1

φ

1
1
(
D
1
)
, ξ
2

φ

1
2
(
D
2
)) =
P
(
ξ
1

φ

1
1
(
D
1
))
P
(
ξ
2

φ

1
2
(
D
2
))
.
Подставляя (2.10) и (2.11), получим
P
(
η
1

D
1
, η
2

D
2
) =
P
(
η
1

D
1
)
P
(
η
2

D
2
)
,
что и требовалось доказать.
Теорема 2.6.
Если случайная величина
ξ
распределена нормально с
параметрами
(
a, σ
2
)
, то случайная величина
η
=

+
B
(
A, B
=
const,
A
̸
= 0
) распределена нормально с параметрами
(
Aa
+
B, A
2
σ
2
)
.
Доказательство.
Пусть
A >
0
. Тогда
F
η
(
x
) =
P
(

+
B
) =
P
(
ξ <
x

B
A
)
=
F
ξ
(
x

B
A
)
.
Плотность распределения
p
ξ
(
x
)
непрерывна при всех значениях аргумен-
та, поэтому
p
η
(
x
) =
F

η
(
x
) =
1
A
p
ξ
(
x

B
A
)
=
1

2
πσA
exp
{

(
x

Aa

B
)
2
2
A
2
σ
2
}
.
Аналогичные вычисления для
A <
0
дают
p
η
(
x
) =
1

2
πσ
|
A
|
exp
{

(
x

Aa

B
)
2
2
A
2
σ
2
}
.


17
Пример 2.1.
Случайная величина
ξ
имеет показательное распреде-
ление с плотностью
p
ξ
(
x
) =
λe

λx
(
x >
0)
. Найти плотность распределе-
ния случайной величины
η
=

ξ
.
Решение.
По определению функции распределения:
F
η
(
x
) =
P
(
η < x
) =
P
(

ξ < x
) =
P
(
ξ < x
2
) =
F
ξ
(
x
2
)
.
При
x >
0
, плотность распределения является производной от функции
распределения:
p
η
(
x
) =
F

η
(
x
) =
d
F
ξ
(
x
2
)
d
x
= 2
xp
ξ
(
x
2
) = 2
λxe

λx
2
.
Это распределение называется распределением Рэлея.
Если на вероятностном пространстве задано несколько случай-
ных величин
ξ
1
, . . . , ξ
n
, то при определенных условиях функция
η
=
φ
(
ξ
1
, . . . , ξ
n
)
также будет случайной величиной. Например, достаточно
потребовать, чтобы функция
φ
(
x
1
, . . . , x
n
)
была непрерывной. Справед-
ливо будет также утверждение, обобщающее теорему 2.5: если случай-
ные величины
ξ
1
, . . . , ξ
n
независимы, то функции
η
1
=
φ
1
(
ξ
1
, . . . , ξ
m
)
и
η
1
=
φ
2
(
ξ
m
+1
, . . . , ξ
n
)
(
m < n
) также независимы. Более детальное опи-
сание функций нескольких случайных величин можно найти в [1].
§ 3
Числовые характеристики случайных величин
3.1
Математическое ожидание
Математическим ожиданием дискретной случайной величи-
ны
ξ
называют число, равное сумме произведений всех ее возможных
значений на их вероятности:
M
ξ
=

i
x
i
p
i
.
(3.1)
Сумма может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.
В последнем случае предполагается, что бесконечный ряд сходится абсо-
лютно. Если же ряд не сходится абсолютно, то математическое ожидание
случайной величины
ξ
не определено.


18
§ 3
Числовые характеристики случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной вели-
чины
ξ
называют число
M
ξ
=


−∞
xp
(
x
) d
x,
(3.2)
если этот интеграл сходится абсолютно. Если интеграл (3.3) не сходится
абсолютно, то математическое ожидание случайной величины
ξ
не опре-
делено.
Математическим ожиданием функции дискретной случай-
ной величины
φ
(
ξ
)
называют число
M
ξ
=

i
φ
(
x
i
)
p
i
,
если ряд сходится абсолютно.
Математическим ожиданием функции непрерывной случай-
ной величины
φ
(
ξ
)
называют число
M
ξ
=


−∞
φ
(
x
)
p
(
x
) d
x,
(3.3)
если интеграл сходится абсолютно.
Математическим ожиданием функции дискретных случай-
ных величин
φ
(
ξ, η
)
называют число
M
ϕ
(
ξ, η
) =


i,k
=1
P
(
ξ
=
x
i
, η
=
y
k
)
φ
(
x
i
y
k
)
,
(3.4)
если ряд сходится абсолютно.
Математическим ожиданием функции непрерывных случай-
ных величин
φ
(
ξ, η
)
называют число
M
ϕ
(
ξ, η
) =


−∞


−∞
φ
(
x, y
)
p
ξη
(
x, y
) d
x
d
y
(3.5)
если интеграл сходится абсолютно.
Эти определения естественным образом обобщается для большего
числа случайных величин.


3.1.
Математическое ожидание
19
Теорема 3.1.
Математическое ожидание обладает следующими свой-
ствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой по-
стоянной:
M
C
=
C.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания:
M
(

) =
C
M
ξ.
3. Для любой случайной величины
ξ
|
M
ξ
|
6
M
|
ξ
|
.
(3.6)
4. Математическое ожидание суммы случайных величин
ξ
и
η
равно
сумме математических ожиданий слагаемых:
M
(
ξ
+
η
) =
M
ξ
+
M
η.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин
ξ
и
η
равно произведению математических ожиданий со-
множителей:
M
ξη
=
M
ξ
M
η.
Доказательство.
Свойства 1

3 следуют из соответствующих свойств
интегралов и рядов. Для доказательства свойства 4 в случае, например,
непрерывных случайных величин
ξ
и
η
, рассмотрим интеграл (3.5) для
функции
φ
(
x, y
) =
x
+
y
:
M
(
ξ
+
η
) =


−∞


−∞
(
x
+
y
)
p
ξη
(
x, y
) d
x
d
y
=
=


−∞
x




−∞
p
ξη
(
x, y
) d
y


d
x
+


−∞
y




−∞
p
ξη
(
x, y
) d
x


d
y
=
=


−∞
xp
ξ
(
x
) d
x
+


−∞
yp
η
(
y
) d
y
=
M
ξ
+
M
η.
Свойство 5 докажем для дискретных случайных величин
ξ
и
η
. Подставим
в сумму (3.4) функцию
ϕ
(
x, y
) =
xy
и учтем, что для независимых случай-


20
§ 3
Числовые характеристики случайных величин
ных величин выполняется равенство (2.6):
M
(
ξη
) =


i,k
=1
P
(
ξ
=
x
i
)
P
(
η
=
y
k
)
x
i
y
k
=
=


i
=1
P
(
ξ
=
x
i
)
x
i
·


k
=1
P
(
η
=
y
k
)
y
k
=
M
ξ
·
M
η.

Download 197,49 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish