|
Пример 3.6.
Рассмотрим распределение Максвелла (1.10), кото-
рое описывает распределение частиц в газе по абсолютной величине ско-
рости:
p
(
v
) =
√
2
m
3
π
(
kT
)
3
v
2
exp
(
−
mv
2
2
kT
)
.
(3.15)
Здесь и далее в этом примере мы используем
«
физические
»
обозначения:
v
—
скорость частицы,
m
—
ее масса,
T
—
температура,
k
—
постоянная
Больцмана. Очевидно, что формула (3.15) имеет смысл, когда
v
>
0
. Если
v
отрицательно, то
p
(
v
) = 0
.
Найдем числовые характеристики данного распределения. Мате-
матическое ожидание, оно же средняя скорость частицы, обозначается
⟨
v
⟩
или
¯
v
1)
.
⟨
v
⟩
=
∞
∫
0
vp
(
v
) d
v
=
√
8
m
πkT
.
Второй начальный момент дает квадрат средней квадратичной скорости,
то есть
⟨
v
кв
⟩
=
√
⟨
v
2
⟩
.
⟨
v
2
⟩
=
∞
∫
0
v
2
p
(
v
) d
v
=
3
kT
m
=
⇒
⟨
v
кв
⟩
=
√
3
kT
m
.
1)
Ниже будем для обозначения среднего будем использовать только угловые скобки.
31
Для нахождения моды найдем производную от плотности распределения
и приравняем ее к нулю, откуда получим значение
v
в
=
√
2
kT
m
,
которое называют наиболее вероятной скоростью.
Чтобы найти медиану
V
данного распределения нужно решить
уравнение
V
∫
0
p
(
v
) d
v
=
1
2
.
(3.16)
Удобно ввести безразмерную величину
u
=
V
√
m/kT
. Тогда проинтегри-
ровав по частям (3.16), получим трансцендентное уравнение
2Φ(
u
)
−
√
2
π
ue
−
u
2
/
2
=
1
2
,
численное решение которого дает
u
≈
1
,
538
. Таким образом,
V
≈
√
2
,
37
kT /m
, то есть значение
V
лежит между наиболее вероятной и сред-
ней скоростью. В зависимости от задачи, все найденные характеристики
могут рассматриваться в качестве центра распределения.
§ 4
Характеристические функции
Комплекснозначной случайной величиной называется функция
ξ
(
ω
) +
iη
(
ω
)
, где
ξ
и
η
—
действительные случайные величины, заданные
на множестве событий
Ω
. Математическое ожидание комплекснозначной
случайной величины вычисляется по формуле
M
(
ξ
+
iη
) =
M
ξ
+
i
M
η
и удовлетворяет всем свойствам математического ожидания, полученным
в разделе 3.1.
Характеристической функцией
случайной величины
ξ
называ-
ется комплексная функция действительного аргумента
f
ξ
(
t
) =
M
e
iξt
.
(4.1)
32
§ 4
Характеристические функции
Если
ξ
—
дискретная случайная величина, то из (4.1) следует
f
ξ
(
t
) =
∞
∑
n
=1
e
ix
n
t
P
(
ξ
=
x
n
)
.
(4.2)
Для непрерывной случайной величины характеристическая функция вы-
числяется по формуле
f
ξ
(
t
) =
∞
∫
−∞
e
ixt
p
ξ
(
x
) d
x.
(4.3)
Теорема 4.1.
Характеристическая функция обладает следующими
свойствами:
1. Характеристическая функция определена и непрерывна на всей чис-
ловой прямой и удовлетворяет соотношениям
|
f
(
t
)
|
6
1
,
f
(0) = 1
.
2. Если
η
=
aξ
+
b
, где
a
и
b
—
постоянные, то
f
η
(
t
) =
e
ibt
f
ξ
(
at
)
.
3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных
величин
ξ
и
η
равна произведению их характеристических функций:
f
ξ
+
η
(
t
) =
f
ξ
(
t
)
f
η
(
t
)
.
4. Соответствие между множеством характеристических функций и
множеством функций распределения является взаимно однознач-
ным.
Доказательство.
1. При любом действительном
t
имеет место
|
e
it
|
= 1
.
Используя свойство (3.6) математического ожидания, получим
|
f
ξ
(
t
)
|
6
M
|
e
iξt
|
= 1
.
2. Справедливость этого утверждения следует из
f
η
(
t
) =
M
e
it
(
aξ
+
b
)
=
e
ibt
M
e
iatξ
=
e
ibt
f
ξ
(
at
)
.
33
3. Используя теорему 2.5, найдем, что
f
ξ
+
η
(
t
) =
M
e
i
(
ξ
+
η
)
t
=
M
e
iξt
e
iηt
=
M
e
iξt
M
e
iηt
=
f
ξ
(
t
)
f
η
(
t
)
.
Заметим, что это свойство легко обобщить на сумму любого конечного
числа независимых случайных величин.
4. Доказательство утверждения 4 приводится, например в [1].
Следующая теорема позволяет использовать характеристическую
функцию для вычисления моментов случайной величины.
Теорема 4.2.
Если случайная величина
ξ
имеет абсолютный момент
n
-го порядка, то есть
M
|
ξ
|
n
<
∞
, то характеристическая функция ве-
личины
ξ
дифференцируема
n
раз и при
k
6
n
f
(
k
)
(0) =
i
k
M
ξ
k
.
(4.4)
Доказательство.
Пусть
ξ
—
непрерывная случайная величина. Тогда ха-
рактеристическая функция вычисляется по формуле (4.3). Покажем, что
можно дифференцировать под знаком интеграла. Поскольку
i
∞
∫
−∞
xe
ixt
p
ξ
(
x
) d
x
6
∞
∫
−∞
|
x
|
e
ixt
p
ξ
(
x
) d
x
=
M
|
ξ
|
<
∞
,
то интеграл в левой части неравенства сходится равномерно по
t
. Следо-
вательно,
f
′
ξ
(
t
) =
i
∞
∫
−∞
xe
ixt
p
ξ
(
x
) d
x,
f
′
ξ
(0) =
i
M
ξ.
Аналогично доказывается равномерная сходимость интегралов
i
k
∞
∫
−∞
x
k
e
ixt
p
ξ
(
x
) d
x,
k
6
n
и справедливость формулы (4.4).
Если
ξ
—
дискретная случайная величина, то для доказательства
теоремы необходимо показать равномерную сходимость рядов
i
k
∞
∑
n
=1
x
k
n
e
ix
n
t
P
(
ξ
=
x
n
)
,
k
6
n,
34
§ 5
Предельные теоремы
которая позволяет почленно дифференцировать ряд (4.2).
Пример 4.1.
Характеристическая функция биномиального
распределения.
Случайная величина
ξ
принимает целые значения
k
=
0
,
1
,
2
, . . . , n
с вероятностью
p
k
=
C
k
n
p
k
q
n
−
k
. По определению (4.1)
f
(
t
) =
M
e
iξt
=
n
∑
k
=0
C
k
n
p
k
q
n
−
k
e
ikt
=
n
∑
k
=0
C
k
n
(
pe
it
)
k
q
n
−
k
=
= (
pe
it
+
q
)
n
.
Пример 4.2.
Характеристическая функция нормального рас-
пределения с параметрами
(
a, σ
2
)
.
По определению (4.1)
f
(
t
) =
M
e
iξt
=
1
√
2
π
∞
∫
−∞
e
−
(
x
−
a
)
2
/
2
σ
2
e
ixt
d
x
=
=
1
√
2
π
∞
∫
−∞
e
−
(
x
2
−
2(
a
+
itσ
2
)
x
+
a
2
)
/
2
σ
2
d
x
=
=
1
√
2
π
∞
∫
−∞
exp
{
−
(
x
−
a
−
itσ
2
)
2
2
σ
2
+
iat
−
σ
2
t
2
2
}
d
x.
Сделаем замену переменной
y
= (
x
−
a
−
itσ
2
)
/σ
:
f
(
t
) =
e
iat
−
σ
2
t
2
/
2
1
√
2
π
∞
∫
−∞
e
−
y
2
/
2
d
x
=
e
iat
−
σ
2
t
2
/
2
.
Вычислить моменты этих распределений с помощью формулы (4.4)
читателю предоставляется самостоятельно в качестве простого упражне-
ния.
Do'stlaringiz bilan baham: |
