Учебное пособие для студентов

Пример 6.7 [1].
В преобразователе частоты при нормальной работе в состоянии D₁ среднее значение частоты F_СР = 400 Гц, а ее среднеквадратическое отклонение σ = 15 Гц. При неисправном D₂ состоянии пре­образователя F₂ = 430 Гц, а σ₂ = 50 Гц. Из статистических данных известно также, что у 5% таких преобразователей при эксплуатации наблюдаются отказы. Требуется определить предельную частоту F₀ преобразователя, при которой еще можно продолжать его эксплуатацию, имея в виду, что отношение стоимости пропуска цели С₁₂ к стоимости ложной тревоги C₂₁ равно 50.
Решение.
Будем считать, что распределение частоты у исправного и неисправного преобразователей подчиняется нормальному закону, а С₁₁ = С₂₂ = 0. Тогда из условия (6.30) получим

где Р₂ = 0,05 и P₁ = 1- Р₂ = 0,95 - вероятности пребывания преобразователя частоты соответственно в неисправном и исправном состояниях. Плотности распределения при нормальном законе
;

Подставим полученные значения в предыдущее равенство и, логарифмируя его, получим
-(F - 400)² / (215²) + (F - 430)² / (250²) = ln(2,632 15 / 50) = - 0,2362.
Это уравнение можно упростить:
F² - 0,79410³F + 15,7410⁴ = 0.
Положительный корень этого уравне­ния F₀ = 411,46. Следовательно, мож­но рассчитывать на то, что до часто­ты 411,46 Гц преобразователь будет работать нормально. Очевидно, что отклонение частоты преобразователя от его среднего значения не должно превышать 411,46 – 400 = 11,46 Гц при его нормальной работе. Полученное решение может быть проиллюстрировано графиче­ски на рисунке 6.3, если принять х₁ = 400 Гц, х₂ = 430 Гц, а х₀ = 411,46 Гц.
Метод наибольшего правдоподобия, как и метод минимального рис­ка, для записи своего решающего правила использует отношение правдоподобия
x  D₁, если f(х/D₁) / f(х/D₂) > 1; (6.37)
x  D₂ ,если f(х/D1) / f(х/D₂) < 1, (6.38)
где x - диагностируемый параметр.
Граничное значение х = х₀ находят из следую­щего условия:
f(х/D₁) = f(х/D₂). (6.39)
Сравнивая (6.39), (6.35) и (6.30), видим, что они совпадают, если
λ = P₂(С₁₂ - С₂₂) / [P₁(С₂₁ - С₁₁)] = 1. (6.40)
Из этого следует, что метод наибольшего правдоподо­бия является частным случаем метода минимального риска. При С₁₁ = С₂₂ = 0 (6.40) приобретает вид
P₂С₁₂ / (P₁С₂₁) = 1. (6.41)
Отметим в заключение, что всегда надо иметь в виду, что P₁ >> Ρ₂ и С₁₂ >> С₂₁. Метод наибольшего правдоподобия проиллюстрируем примером 6.8.