Учебное пособие для студентов

R = С₁₂  Р(Н₁₂) + С₂₁  Ρ(Н₂₁) (6.25)
(обычно С₁₂ >> С₂₁). Обозначим цены правильных решений Н₁₁ и Н₂₂ через С₁₁ и С₂₂ соответственно. Чтобы отличить от стоимости потерь, их обычно считают отрицательными. С учетом сказанного выражение среднего риска может быть уточнено:
(6.26)
Иногда цены правильных решений С₁₁ и С₂₂ полагают равными нулю, т.е. не учитывают как, например, в (6.25). Рассмотрим математическое содержание метода минимального риска. Из условия получения минимума среднего риска R_min определим граничное значение х₀ диагностируемого параметра х в решающем правиле (6.22). Необходимое и достаточное условие достижения R_min в точке х = х₀ выражается неравенством
(6.27)
Для получения выражения (6.27) в явном виде определим сна­чала условие существования экстремума функции (6.26), т.е. решим уравнение вида
(6.28)
С учетом (6.26) оно запишется
(6.29)
или
(6.30)
Пусть плотности распределения f(х / D₁) и f(х / D₂) подчинены нормальному закону и имеют по одному максимуму (рисунок 6.5). Искомое оптимальное значение х₀, доставляющее минимум функ­ции риска R, будет располагаться на рисунке 6.5 между центрами х₁ и х₂ распределений f(х / D₁) и f(х / D₂), т.е.
х_1СР < х₀ < х_2СР. (6.31)
С
учетом положения x₀ теперь можно утверждать, что условие (6.27) приводит к необходимости выполнения следующего неравенства относительно производных плотностей распределения:
(6.32)
Заметим, что (6.32) всегда выполняется, так как в правой час­ти неравенства стоит положительная величина, а слева отрица­тельная. Это объясняется тем, что С₁₂ > С₂₂, a С₂₁ > С₁₁ и при х > х₁ производная f'(х₀/D₁) < 0, а производная f '(х₀/ D₂) > 0 вплоть до х₀ < х_2СР (см. рисунок 6.5).
Запишем решающее правило метода минимального риска с использованием отношения правдоподобия (6.30) и условия (6.22):
x  D₁, если f(х/D₁) / f(х/D₂) > P₂(С₁₂ - С₂₂) / [P₁(С₂₁ - С₁₁)]; х < х₀; (6.33)
x  D₂, если f(х/D₁) / f(х/D₂) < P₂(С₁₂ - С₂₂) / [P₁(С₂₁ - С₁₁)]; х > х₀; (6.34)
Пороговым значением отношения правдоподобия счи­тают величину
λ = P₂(С₁₂ - С₂₂) / [P₁(С₂₁ - С₁₁)]. (6.35)
Если цены принятия правильных решений С₁₁ и С₂₂ не учитывают, т.е. считают их равными нулю, то выражение (6.35) принимает вид
λ = P₂С₁₂ / (P₁С₂₁). (6.36)
Используем метод минимального риска при решении диагностической за­дачи.