Учебное пособие для студентов

Гамма-процентное время восстановления – это время, в течение которого восстановление ра­ботоспособности объекта будет осуществлено с вероятностью γ, выражен­ной в процентах.
Средняя трудоёмкость восстановления – это математическое ожидание трудоемкости вос­становления объекта после отказа.

3.6.Комплексные показатели надёжности

К комплексным показателям надёжности относятся коэффициенты: готовности, оперативной готовности, технического использования и сохранения эффективности. Все комплексные показатели описывают надёжность восстанавливаемых объектов.
Коэффициент готовности К_Г – это вероятность того, что объект окажется в рабо­тоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Различают стационарный и нестационарный коэффициенты готовности, а также средний коэффициент готовности [3].
Выведем выражение для стационарного коэффициента готовности восстанавливаемых объектов. С точки зрения потребителя интерес представляют два состояния таких объектов:

• 
  S₀(t) с вероятностью пребывания P₀(t), в котором система может использоваться по своему назначению,
  
• 
  S₁(t) с ве­роятностью P₁(t) - система использоваться по своему назначе­нию не может.
  

По определению К_г = P₀ – вероятность застать систему в установившемся режиме в исправном состоянии, а К_п = P₁ - вероятность застать систему в этом же режиме в неисправном состоянии. Граф переходов и зависимость состояния от времени такой системы показаны на рисунке 3.3 а и б (слева).
Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний объекта можно составить по виду графа состояний, используя инженерное правило, сформулированное академиком А. Н. Колмогоровым [5]:

Производная по времени от вероятности P_k(t) пребывания системы в любой момент времени t в состоянии k равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов в k-ое состояние (или из k-го состояния) на вероятность того состояния, откуда совершается переход в k-е состояние. Причем, тем слагаемым, которым соответствуют уходящие стрелки из k-го состояния приписывается знак “минус”, а входящим - “плюс”.
Кроме того, используется нормировочное отношение
(3.33)
В итоге для нашего примера имеем
dP₀(t) / dt = -λ·P₀(t) + μ·P₁(t); (3.34)
dP₁(t) / dt = λ·P₀(t) - μ·P₁(t); (3.35)
P₀(t) + P₁(t) = 1. (3.36)
С учётом того, что в установившемся режиме P_k не зависит от времени t и dP_к(t) / dt = 0 выражения (3.34) и (3.36) примут вид
0 = -λ·P₀ + μ·P₁; (3.37)
P₀ + P₁ = 1. (3.38)
Из двух последних уравнений имеем
P₀ = (μ / λ)·P₁ = (μ. / λ)·(1- P₀) = (μ / λ) – (μ· P₀) / λ. (3.39)
Откуда
P₀ = (μ / λ) / (1 + μ / λ) = μ / (λ + μ) = К_г; (3.40)
P₁ = 1- P₀ = λ / (μ + λ) = К_п. (3.41)
Учтём, что интенсивности восстановления μ и интенсивности отказов λ определяются выражениями
μ = 1 / Т_в , (3.42)
λ = 1/ Т, (3.43)
где Т_в – среднее время восстановления, а Т - средняя наработка до отказа.
Тогда получим выражения для стационарных коэффициента готовности К_г и для коэффициента простоя К_п:
К_г = Т / (Т + Т_в), (3.44)
К_п = Т_в / (Т + Т_в). (3.45)