Учебное пособие для студентов

3.7.2 Нормальное распределение времени безотказной работы при постепенных отказах и учёт влияния этих отказов при расчёте надёжности

Рас­пределение времени безотказной работы до появления постепенного (износового) отказа (на третьем участке рисунка 3.2) в большинстве практических ситуаций, когда все отказы однородны по качеству и имеют малый разброс по времени возникновения, близко к нормальному, то есть хорошо описывает­ся законом Гаусса (рисунок 3.4, б). При отрицательных значениях величины наработки до отказа t плотность распределения наработки до отказа f(t) равна нулю
f (t) = 0, t ≤ 0; (3.64)
В этом случае количественные показатели надёжности имеет смысл рассматривать только при усеченном гауссовском распределении, когда плотность распределения наработки до отказа равна [1]
(3.65)
где σ² и Т₀ – соответственно дисперсия и среднее значение (математическое ожидание) случайной величины t, а с - постоянная усеченного нормального распределения, равная
(3.66)
которая находится из условия нормировки
- табулированные значения интеграла вероятности (нормированной функции Лапласа). Таблица Р_Д(t) = 2Ф(t) (таблица 7.6) приведена в разделе 7;
(3.67)
Нормированная функция Лапласа является нечётной
Ф(-t) = -Ф(t). (3.68)
Вероятность безотказной работы системы определяется по формуле
(3.69)
Интенсивность отказов λ(t), с учётом выражений (3.10), (3.65) и (3.69), определяют по формуле
(3.70)
Среднюю наработку до отказа определяют по формуле [1]
Т_{1стат ус} = Т₀ + σf₁(Т₀ / σ), (3.71)
где f₁(Т₀ / σ) имеет тот же физический смысл, что и f(t) [см. формулу (3.65)].
Непосредственно нормальный закон распределения для расчета показателей безотказности может применяться только в случае, если
Т₀ >> σ. (3.72)
В этом случае постоянная с и средняя наработка до отказа Т_1стат равны
, Т_1стат = Т₀. (3.73)
Безусловная вероятность отказа изделия на временном интер­вале от t₁ до t₂ в этом случае равна [4]
(3.74)
Если условие (3.72) не выполняется, то нормальная плотность распределения (3.65) не является односторонней, т.е. она отлична от нуля и при t < 0. При Т_1стат >> σ этот недостаток практически не сказывается, так как в этом случае частью кривой распределения при t < 0 можно пренебречь. Однако если условие (3.72) не выполняется, то использование нормального распределения может привести к заметным погрешностям. Поэтому на практике используют усеченное нормальное распределение (рисунок 3.4, в). Для этого отсекают часть кривой распределения при t < 0 и вводят с нормирующий множитель с, рассчитываемый по формуле (3.66) чтобы сохранить условия нормирования плотности вероятности [4].
Пример 3.1 [1].
Известно, что исследуемая неремонти­руемая РЭС имеет нормальное распределение наработки до отказа с парамет­рами Т₀ = 520 ч и σ = 150 ч. Требуется определить вероятность безотказной рабо­ты РЭС при наработке t = 400 ч и ее интенсивность отказов.