U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

2.4.  Bayes  formulasi  (gipotezalar  teoremasi).    Birgalikdamas 
 
 
   
 
       
 
  gipotezalarning  to„la  guruhi  berilgan  bo„lib,  ularning 
ehtimollari 
   
 
      
 
          
 
   ma‟lum  bo„lsin.  Tajriba  natijasida 
   hodisa   
 
   
 
       
 
  gipotezalarning  bittasi  bilangina  ro„y  berib,  bu 
hodisaning  har  bir  gipoteza  bo„yicha  ehtimolligi 
 
 
 
      
 
 
          
 
 
   
 
ma‟lum. 
  hodisaning ro„y berish shartida gipotezalarni qayta baholash, 
ya‟ni 
 
 
  
 
    
 
  
 
        
 
  
 
  shartli ehtimollarni topish talab etilsin. 
Bunday hollar uchun ushbu teorema o„rinli bo„ladi.  
 
Teorema  (gipotezalar  teoremasi).  Agar 
   hodisa  ro„y  bersa,  u 
holda  gipotezalarning  shartli  ehtimolligi  Bayes  formulasi  deb  ataluvchi 
quyidagi formuladan topiladi:  
 
 
  
 
   
   
 
  
 
 
   
∑
   
 
  
 
 
   
 
   
                                        
bu yerda: 
         
̅̅̅̅̅   
Isboti:  Bu  formulani  shartli  ehtimollik  ta‟rifidan  foydalanib, 
keltirib chiqarish mumkin: 
 
 
  
 
   
   
 
  
    
 
Bog„liq  hodisalar  uchun  ehtimollarni  ko„paytirish  teoremasidan 
foydalanimiz: 
   
 
        
 
  
 
 
          
 
          
 
  
 
   
Bu  formulalarni  taqqoslab, 
   
 
  
 
 
           
 
  
 
   tenglikni  hosil 
qilamiz, bundan  

---

 
92 
 
 
  
 
   
   
 
  
 
 
   
    
 
Bu  kasrning  maxrajidagi 
   hodisaning        ehtimolligini  to„la 
ehtimollik formulasiga asosan ifodalab, isbotlanayotgan formulani hosil 
qilamiz:  
 
 
  
 
   
   
 
  
 
 
   
∑
   
 
  
 
 
   
 
   
 
1-misol. Shar solingan uchta yashik bor. Birinchi yashikda 5 ta oq 
va 6 ta qora, ikkinchisida 6 ta oq va 5 ta qora, uchinchisida 7 ta oq shar 
bor.  Tavakkaliga  bitta  yashik  tanlanib,  undan  bitta  shar  olindi  va  u  oq 
chiqdi. Bu shar ikkinchi yashikdan olinganligi ehtimolligini toping. 
Yechish: 
  hodisa oq shar olinganligini bildiruvchi hodisa bo„lsin. 
Ushbu uchta gipotezani ko„rib chiqamiz: 
 
 
‒ birinchi yashik tanlangan; 
 
 
‒ ikkinchi yashik tanlangan; 
 
 
‒ uchinchi yashik tanlangan.  
Shar olinadigan yashik tavakkaliga olingani uchun: 
   
 
       
 
       
 
   
 
 
  
  hodisaning shartli ehtimolligi mos ravishda quyidagiga teng:  
 
 
 
     
 
  
 (oq shar birinchi yashikdan olinish ehtimolligi); 
 
 
 
     
 
  
 (oq shar birinchi yashikdan olinish ehtimolligi); 
 
 
 
         (oq  shar  birinchi  yashikdan  olinish  ehtimolligi).  Bu 
yerda to„la ehtimollik formulasiga ko„ra, 
      
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
     
 
 
 
tenglikni  hosil  qilamiz.  Oq  shar  ikkinchi  yashikdan  olinish  ehtimolligi 
esa quyidagiga teng: