Tuwrı sızıqtaǵı noqatlar kópligi. Limit noqatlar. Ashıq hám tuyıq kóplikler. Jetilisken kóplik

Tuwrı sızıqtaǵı noqatlar kópligi. Limit noqatlar. Ashıq hám tuyıq kóplikler. Jetilisken kóplik
metrikalıq keńisliktiń qandayda bir úles kópligi berilgen bolsın. Eger noqatınıń qálegen dógereginde kópliktiń hesh bolmaǵanda bir elementi jaylasqan bolsa, onda noqat E kópliktiń urınıw noqatı dep ataladı. kópliktiń barlıq urınıw noqatlarınıń kópligi niń tuyıqlanıw kópligi dep ataladı hám [ ] kóriniste belgilenedi.
Mısallar. 1. Sanlar kósherinde intervaldıń tuyıqlanıw kópligi segmentten ibarat.
2. Racional sanlar kópligi ushın boladı.
Eger noqatınıń kópliginde tolıq jatatuǵın qanday da bir dógeregi bar bolsa, onda bul noqat kópliginiń ishki noqatı dep ataladı. kópliktiń barlıq ishki noqatlarınıń kópligi onıń ishi dep ataladı hám ⁰ kóriniste belgilenedi. ekenligi ayqın.
Eger noqattıń qálegen dógereginde kópliginiń bul noqattan basqa hesh bolmaǵanda bir elementi jaylasqan bolsa, onda bul noqat kópliktiń shek noqatı dep ataladı. kópliginiń barlıq shek noqatlarınıń kópligi onıń tuwındı kópligi delinedi hám arqalı belgilenedi. tiń tuwındı kópligin arqalı belgileymiz. Solay etip niń joqarǵı tártipli tuwındı kóplikleri anıqlanadı.
Eger noqat kópliktiń shek noqatı bolsa, onda bul noqattıń qálegen dógereginde kópliktiń sheksiz kóp noqatı bar boladı.
Kópliktiń shek noqatı bul kóplikke derek bolıwı da, bolmaslıǵı da múmkin. Mısalı, eger kesindidegi racional sanlar kópligi bolsa, onda bul kesindiniń hár bir noqatı kópliktiń shek noqatı.
1-teorema. noqat kópliktiń shek noqatı bolıwı ushın bul kóplikten

teńlikti qanaatlandıratuǵın hár qıylı noqatlar izbe- izligin ajıratıp alıw múmkin bolıwı zárúr hám jetkilikli.
2-teorema (B. Bol`cano- K. Veyershtrass). Hár bir sheksiz shegaralanǵan kóplik keminde bir shek noqatqa iye (bul noqat kóplikke derek bolmaslıǵı da múmkin).
Eger noqattıń kópliginiń bul noqattan basqa hesh bir elementi bolmaǵan dógeregi bar bolsa, onda bul noqat kópliktiń jekkelengen noqatı dep ataladı.
Kópliktiń hár bir urınıw noqatı bul kópliktiń yamasa shek noqatı, yamasa jekkelengen noqatı boladı.
Bunnan kópliktiń tuyıqlanıwı, ulıwma aytqanda, tómendegi úsh túrdegi noqatlardan dúzilgen degen juwmaq shıǵarıw múmkin:
1) kópliktiń jekkelengen noqatları;
2) kópliktiń bul kóplikke derek shek noqatları;
3) kópliktiń bul kóplikke derek emes shek noqatları.
Solay etip, tuyıqlanıwı kóplikke onıń hámme shek noqatların birikteriw arqalı dúziledi.
Eger noqattıń qálegen dógereginde kópligine derek bolǵan da, derek bolmaǵan da noqatlar bar bolsa, onda bul noqat kópliginiń shegaralıq noqatı dep ataladı. kópliginiń barlıq shegaralıq noqatlarınıń kópligi, onıń shegarası dep ataladı hám kóriniste belgilenedi.
Anıqlama. Eger teńligi orınlı bolsa, onda tuyıq kóplik dep ataladı.
Mısallar. 1. Sanlar kósheriniń qálegen kesindisi tuyıq kóplik.
2. Tuyıq shar- tuyıq kóplik. Dara jaǵdayda, - tuyıq kóplik.
3. - tuyıq kóplik emes. Onıń tuyıǵı tuyıq kóplik.
4. qanday metrikalıq keńislik bolsa da,  bos kóplik hám pútkil - tuyıq kóplikler.
5. Shekli sandaǵı noqatlardan dúzilgen qálegen kóplik tuyıq kóplik.
3-teorema. Qálegen sandaǵı tuyıq kópliklerdiń kesilispesi tuyıq kóplik boladı.
Dálillew. tuyıq kóplik bolıp, onıń indeksi qálegen quwatlı qanday da bir kópliktiń elementleri boyınsha ózgersin.

kópliktiń tuyıq ekenligin kórsetemiz. kópliktiń shek noqatı bolsın. Onda onıń qálegen dógereginde kópliktiń sheksiz kóp elementleri jatadı. bolǵanlıqtan sharda hár bir niń sheksiz kóp elementleri jaylasqan. Nátiyjede, hár bir niń shek noqatı boladı hám lar tuyıq bolǵanlıqtan . Demek, , yaǵnıy - tuyıq kóplik. Teorema dálillendi.
4-teorema. Qálegen shekli sandaǵı tuyıq kópliklerdiń birikpesi tuyıq kóplik boladı.
Eskertiw. Sheksiz kóp sandaǵı tuyıq kópliklerdiń birikpesi tuyıq kóplik bolmaslıǵı da múmkin. Mısalı, kópliklerdiń hár biri tuyıq kóplik, biraq tuyıq emes.
Eger kóplik tuyıq bolıp, hesh bir jekkelengen noqatqa iye bolmasa, onda ol jetilisken kóplik dep ataladı.
Anıqlama. Meyli, - noqatlı kóplik, al - bazı bir intervallar sisteması bolsın. Eger hár bir ushın bolatuǵın  interval tabılsa, onda kóplik  intervallar sisteması menen qaplanǵan deymiz.
5-teorema (E. Borel`). Eger tuyıq, shegaralanǵan kóplik sheksiz  intervallar sisteması menen qaplanǵan bolsa, onda bul sistemadan kóplikti qaplaytuǵın shekli * intervallar sistemasın ajıratıp alıw múmkin.
Eskertiw. Eger kópliktiń tuyıqlıq yaki shegaralanǵanlıq shárti alıp taslansa, onda teorema orınlı bolmaydı.
Mısalı, hámme natural sanlar kópligin qarayıq. Bul kóplik tuyıq, biraq shegaralanbaǵan. kórinistegi hámme intervallardıń  sistemasın qaraymız.  sistemanıń hár bir intervalı kópliktiń tek ǵana bir noqatın qaplaytuǵını sebepli bul intervallardıń hesh bir shekli sisteması sheksiz kóplikti qaplay almaytuǵını óz-ózinen túsinikli.
Taǵı bir mısal sıpatında kópligin qaraymız. Bul kóplik shegaralanǵan, biraq tuyıq emes. Hár bir noqat dógereginde bul noqattı óz ishine alatuǵın, biraq kópliktiń bul noqattan ózgeshe hesh bir noqatın óz ishine almaytuǵın dárejede kishi interval quramız hám bul intervallar sistemasın  simvolı menen belgileymiz. Bul sistema kóplikti qaplaydı, biraq bul sistemanıń hesh bir shekli bólegi kóplikti qaplay almaydı.
6-teorema. Meyli, - tuyıq kóplik hám . bul kóplik noqatlarınıń izbe-izligi bolsın. Eger bolsa, onda .
Anıqlama. Eger = <sup>0</sup> bolsa, yaǵnıy kópliktiń hár bir noqatı bul kópliktiń ishki noqatı bolsa, onda kóplik ashıq kóplik dep ataladı.
Mısallar. 1) Sanlar kósheriniń intervalı ashıq kóplik.
2) Qálegen metrikalıq keńisliktegi ashıq sharı ashıq kóplik.
3) kesindide úzliksiz, bazı bir tayınlanǵan úzliksiz funkciya) teńsizligin qanaatlandırıwshı funkciyalar kópligi keńisliktiń ashıq kópligi.
Ashıq kópliklerdiń tómendegi ayırım tiykarǵı qásiyetlerin keltiremiz
1<sup>0</sup>. Shekli sandaǵı ashıq kópliklerdiń kesilispesi ashıq kóplik boladı
Sheksiz kóp sandaǵı ashıq kópliklerdiń kesilispesi ashıq kóplik bolmaslıǵı da múmkin. Mısalı, kópliklerdiń hár biri ashıq kóplik, biraq olardıń kesilispesi ashıq kóplik emes.
2<sup>0</sup>. Qálegen sandaǵı ashıq kópliklerdiń birlespesi ashıq kóplik boladı.
Tuyıq hám ashıq kóplikler arasında tómendegi baylanıslar bar
1) qálegen ashıq kópliktiń tolıqtırıwshısı tuyıq kóplik boladı
2) qálegen tuyıq kópliktiń tolıqtırıwshısı ashıq kóplik boladı.
7-teorema. Sanlar kósheriniń hár bir ashıq kópligi jup-juptan kesilispeytuǵın shekli yaki sanaqlı sandaǵı intervallardıń birikpesi sıpatında jazıladı.
Eger  kópliginiń hár qanday noqatınıń qálegen dógereginde kópliginiń noqatı tabılsa, onda kópligi kópliginde tıǵız dep ataladı. Basqasha aytqanda, kóplik kópliginde tıǵız bolıwı ushın [ ] bolıwı kerek. Eger [ ]= bolsa, onda barlıq jerde tıǵız delinedi. Eger keńisliktiń hámme jerde tıǵız sanaqlı úles kópligi bar bolsa, onda bul keńislik separabel` keńislik dep ataladı.
Eger keńisligindegi qálegen ashıq shar  kópliginiń birde elementi tiyisli bolmaǵan basqa bir ashıq shardı óz ishine alatuǵın bolsa, onda kóplik hesh jerde tıǵız emes dep ataladı.