Endi Dedekind hákisiomasiga óteylik

Endi Dedekind hákisiomasiga óteylik.
Iv. Kongruentlik munasábetine tıykarlanıp, tegislikte háreket tushun-
chasini kirgiziw múmkin. Háreket nátiyjesinde «orasida» munasábeti
saqlanadı, yaǵnıy AV kesma qandayda bir háreket nátiyjesinde A'B' kesmaga
o'tsa, A noqat menen V noqat arasındaǵı barlıq noqatlar A' menen v
arasındaǵı noqatlarǵa ótedi. Sol sebepli Dedekind hákisiomasini bi-
Pop kesma, mısalı, ol = 0 tuwrı sızıqtaǵı kesma ushın atqarılıwı -
ni kórsetiw jetkilikli.
(0:1:0), yaǵnıy 0. x + 1. y + 0 = 0 tuwrı sızıqtaǵı A = (0, 0), V = (d, 0)
(d>0) noqatlardan payda bolǵan AV kesmani tekseraylik. Bul jerde
V noqattıń birinshi anıqlawshısı oń san, ekinshi anıq. lov-
chisi nol'. Bul waqıtta (0:1:0) tuwrı sızıqtaǵı N = (x1, 0) nuq-
teńiń A menen V noqatlar arasında bolıwı ushın 0atqarılıwı kerek. Kerisinshe, bul shártni qánaatlantıratuǵın hár bir x
sanǵa A menen V arasında jatqan noqat sáykes keledi. Sonday eken, AV kesma
noqatların Dedekind hákisiomalari shártini qánaatlantiradigan etip
eki klasqa ajıratıw (0, d) interval daǵı sanlardı Dedekind hákisio-
masi shártlerin kanoatlantiradigan etip eki klasqa bolıw da -
mak bolıp tabıladı. Haqıyqıy sanlar kompleksinde Dedekind hákisiomasi orınlı bolıp tabıladı.
Eger (0, d) intervaldı eki klasqa ajıratıwshı Dedekind sanı t bolsa,
bul sanǵa AV kesmada uyqas keliwshi noqat M = (t, 0) boladı.
Aqır-aqıbetde, v parallellik hákisiomasini tekseraylik. i - (a:b:c) tuwrı
sızıq hám ol jaǵdayda yotmagan A = (xo. Ud) noqat berilgen bolsın : axo + byo +
+ c = 0. A noqattan ótetuǵın qandayda bir tuwrı sızıq u' = (a':b':c') ni, yaǵnıy
a'xo+b'yo + c = 0 ni alaylıq. Bul teńlikten: s - (a' xo + b'yo).
Parallellik hákisiomasining shártiga kóre
-
ax + by + c = 0,
a'x + b'y + c' = 0
a' I
sheshimge iye emes, yaǵnıy — =,, bunnan a' = \ a, b' =
a.
==
-
sistema ulıwma
= 2 b; c' ushın s' - (a'xo +v'yo) = - 2 (axo + by). Sonday etip,
u' = (a':b':c') = (a:b: — (axo + by)) tayın birden-bir tuwrı sızıq bolıp tabıladı. De-
- (axo
mak, joqarıda keltirilgen arifmetik modelde Gil'bert hákisiomalari
sistemasınıń (tegislikke tiyisli hákisiomalari) barlıq shártleri
orınlanǵan, sonday eken sol hákisiomalar járdeminde tastıyıq etiletuǵın barlıq
teoremalar da orınlı. Tómendegi juwmaqqa kelamiz: arifmetikaning
nızam - qaǵıydaları qarsılıqtan holi bolsa, Yevklid geometriyasi da qadaǵan-
tiqiy zidsiz bolıp tabıladı.

2-§ de hákisiomalar sistemasınıń tuliklik shártiga boysınıw etiwin

tekseriw usılın aytıp ótken edik. Hákisiomalar sistemasınıń tolıq
ekenin kórsetiw ushın onıń kórilgen qálegen eki modeliniń izo-
morf ekenin kórsetiw jetkilikli bolıp tabıladı. 21-§ de Gil'bert hákisiomalari ushın
arifmetik modelin dúzgen edik. Tap soǵan uqsas Gil'bert ak-
snomalari sistemasınıń ekinshi modeli retinde Dekart modeli dep
atalǵan modeldi kirgiziw múmkin. Bul modeldiń mánisi tómende-
gicha: tegislikte dekart sistemasın kiritip, hár bir noqatqa onıń
koordinataları dep atalǵan bir jufg (x, y) sannı uyqas keltiremiz hám
kerisinshe.
-
Tuwrı sızıq dep ax + by +c=0 teńlemeni (a, b, s tayın San-
lar bolıp, a yamasa b lardan keminde birewi noldan ayrıqsha ) qánaatlan-
tiruvchi barlıq x, ol sanlar jupin, yaǵnıy noqatlardı alamız. x = 0,
y = 0 tuwrı chiziklarni koordinata oqları dep agaymiz. (0, 0) nuq-
tapi koordinatalar bası dep júr amiz. Tuwrı chizikda A = (x, ol.),
holla
B
-
= (x., y ), C = (x,, uz) nuktalar berilgen bolsın. ' ≠0
x < xz X2 > x, bolsa, b O halda bolsa ol, ol; > Ug > U% bӱlsa, v nukta A menen s arasında jatadı dep ataladı.
=
Bunnan tısqarı, kongruentlik túsinigi ushın nur, múyesh hám xo
kazo túsiniklerge analitik geometriyada berilgen tariyplerdi kóz-
de qamtımız. Tiykarǵı túsinik hám munasábetler Gil'bert hákisiomalari
sistemasınıń barlıq shártlerin qánaatlantıradı. Bul modelde payda
etilgen barlıq formulalar 21-§ de keltirilgen arifmetik modellagi
formulalar menen birdey boladı. Sonday eken, bul eki model degi tiykarǵı
túsinikler (ob'ektler, munasábetler) arasında óz-ara bir bahalı
uyqaslıq ámeldegi bolıp, tiykarǵı munasábetler saklanar eken, bul bolsa arif-
metik model' menen dekart modeli arasında izomorf uyqaslıqtıń mav-
judligidan bildirgi beredi.
Tómendegi juwmaq