Ekvivalent kóplikler. Kópliktiń quwatı túsinigi. Quwatlardı salıstırıw. Kontinuum quwatlı kóplikler

Ekvivalent kóplikler. Kópliktiń quwatı túsinigi. Quwatlardı salıstırıw. Kontinuum quwatlı kóplikler
Meyli X hám Y qálegen kóplikler bolsın. Eger belgili bir nızamlılıq boyınsha X kópliginiń hár bir elementine Y kópliginiń tek ǵana bir elementi sáykes qoyılǵan bolsa, onda bul sáykeslikke X kópliginde anıqlanıp, mánisleri Y kópligine tiyisli bolǵan sáwleleniw (yamasa funkciya) delinedi hám ol kóp jaǵdaylarda f  XY kóriniste jazıladı.
Mısallar. 1.Hár bir haqıyqıy sanǵa óziniń kvadratın sáykes qoysaq, bul sáykeslik sáwleleniw boladı. Sebebi, qálegen haqıyqıy sannıń kvadratı tek ǵana birew boladı.
2. (0,+) kóplikke tiyisli hár bir haqıyqıy sanǵa óziniń kvadrat korenin sáykes qoysaq, bul sáykeslik sáwleleniw bola almaydı. Sebebi, bul sáykeslikte hár bir haqıyqıy sanǵa eki san sáykes keledi.
3. S[a,b] arqalı [a,b] segmenttegi barlıq úzliksiz funkciyalar kópligin belgilesek, onda

sáykeslik S[a,b] kóplikti R ge ótkiziwshi sáwleleniw boladı.
f  XY sáwleleniwde x elementke sáykes keliwshi u elementi f(x) kóriniste belgilenedi hám ol x elementtiń obrazı dep ataladı. Obrazı bolatuǵın X kópliginiń barlıq elementleri kópligine u elementtiń proobrazı delinedi hám ol f ^-1(u) kóriniste belgilenedi.
Meyli A - X kópliginiń qanday da bir úles kópligi bolsın. f(a) kórinistegi (bul jerde aA) barlıq elementlerden ibarat {f(a) aA} kópligi A kópliginiń obrazı dep ataladı hám f (A) kóriniste belgilenedi
f (A)= {f(a)  aA}.
B - Y kópliginiń qanday da bir úles kópligi bolsın. X kópliginiń obrazı B kóplikke tiyisli bolǵan barlıq elementleri {a:a)B} kópligine B kópliginiń proobrazı delinedi hám ^-1V) kóriniste belgilenedi.
Eger f:X sáwleleniwde f(X)= bolsa, onda X kópligi  kópliginiń ústine sáwlelenedi delinedi. Sonıń menen birge bul sáwleleniwdi syur`ekciya dep te ataymız. Ulıwma jaǵdayda, yaǵnıy f(X) bolǵanda, f funkciyası X ti  tiń ishine sáwlelendiredi delinedi.
Anıqlama. Eger eki kóplikler arasında óz-ara bir mánisli sáykeslik ornatıw múmkin bolsa, onda bul kóplikler ekvivalent dep ataladı. A hám V kópliklerdiń ekvivalentligi A~V kóriniste belgilendi.
Teorema (Kantor-Bernshteyn teoreması) . Eger A kóplik B kópliktiń úles kópligine ekvivalent, B kóplik A nıń úles kópligine ekvivalent bolsa, onda AB.
Eger eki shekli kóplik ekvivalent bolsa, onda olardıń elementleri sanı teń boladı. Sheksiz kóplikler haqqında bunday dep ayta almaymız. Sebebi sheksiz kópliktiń elementleri sanı haqqında túsinik beriw múmkin emes. Qálegen tábiyatlı eki kóplik ekvivalent bolsa, onda bul kópliklerdiń quwatı teń delinedi. Sonday qılıp, quwat - shekli kópliklerdiń elementleri sanı túsiniginiń sheksiz kóplikler ushın ulıwmalastırılıwı eken.
A kópliktiń quwatın m(A) kóriniste belgileymiz. Demek, A hám B kóplikler ekvivalent bolsa, onda m(A)=m(B) boladı. Eger bul kóplikler ekvivalent bolmasa, onda m(A)m(B).
Eger B kópligi A kópliginiń qandayda bir úles kópligine ekvivalent bolsa, onda B kópliginiń quwatı A qópliginiń quwatınan úlken emes delinedi hám bul m(B) m(A) yamasa m(A)m(B) kórinislerde belgilenedi.
Eger A hám B kóplikleri ekvivalent bolmastan, A kóplik B kópliktiń qandayda bir úles kópligine ekvivalent bolsa, onda V kóplik A kóplikke salıstırǵanda quwatlıraq delinedi hám ol m(B)>m(A) yamasa m(A)Mısallar 1. NQ bolǵanlıqtan m(N)=m(Q). m(N) ádette kóriniste belgilenedi.
2. Q hám R ekvivalent emes. Biraq QZR. Sonlıqtan m(Q) Anıqlama. Barlıq natural sanlar kópligine ekvivalent bolǵan kóplik sanaqlı kóplik dep ataladı.
Mısal ushın barlıq pútin sanlar kópligi, barlıq taq sanlar kópligi sanaqlı boladı.
Sanaqlı bolmaǵan qóplik sanaqsız delinedi.
[0,1] segmentine ekvivalent bolǵan kóplik kontinuum quwatqa iye delinedi. Kontinuum quwattı c kóriniste belgileymiz. Onda c> qatnasın jaza alamız. Quwatı kontinuum quwattan da úlken kópliktiń bar eknligin tómendegi teorema járdeminde kóriw múmkin
Teorema. Qandayda bir M kópliktiń barlıq úles kóplikleri kópligin kóriniste belgilesek, onda m( )>m(M) qatnası orınlı boladı.
Mısal. Barlıq irracional` sanlar kópligi  menen barlıq haqıqıy sanlar kópligi R ekvivalent ekenligin kórsetiń.
Sheshiliwi. Bul kóplikler arasında óz-ara bir mánisli sáykeslikti tómendegishe ornatıwǵa boladı. ( n=1,2,3,...) kórinisindegi sanlar kópligin L arqalı, al  dıń kórinisinde ańlatıw múmkin bolmaǵan barlıq elementleri kópligin S arqalı belgileyik. Onda =SL , R=C(LQ), bunda Q-racional sanlar kópligi. Q sanaqlı kóplik bolǵanlıǵı ushın onıń elementlerin nomerlep shıǵıw múmkin: . L hám LQ kóplikler arasında tómendegishe óz-ara bir mánisli sáykeslik ornatayıq:


C kópliktiń hár bir elementine sol elementtiń ózin sáykes qoyamız. Nátiyjede I hám R arasında óz-ara bir mánisli sáykeslik ornatıladı.