Tutash muhitlar

Kovariant hosilaning xossalari

1. Dekart koordinatalari sistemasida ( ⁱ = x ⁱ) kovariant hosila vektor komponentalaridan koordinata bo’yicha olingan oddiy hosila bilan bir xil bo’ladi. Haqiqatan,

bo’lganligidan u holda (6.10) dan

bo’ladi.

2. Kovariant hosilalar ikkinchi rang tenzorning komponentalari bo’ladilar. Haqiqatan, faraz qilaylik, ⁱ– yangi, ^j– eski koordinatalar sistemalari bo’lsin, u holda

va bu yerdan lar vektorning kovariant komponentalari kabi almashtirilishi kelib chiqadi.

Shuning uchun ob’ekt invariant ob’ektdir. U holda (6.9) va (6.10) formulalarga asosan,

ya’ni T – 2-rang tenzor va bu tenzorning komponentalari lardan iborat.

1. 
   Ixtiyoriy  skalyar miqdordan olingan kovariant hosila uning oddiy hosilasi bilan bir xil bo’ladi:
   

.

Endi tenzorning kontravariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar bilan tanishamiz. Ushbu tenzor berilgan bo’lsin:

(6.11)

Yig’indining ikkinchi hadida i va l larning, 3 – hadida esa j va l larning o’rinlarini almashtiramiz (shunday qilishga haqqimiz bor, chunki bu indekslar bo’yicha yig’indilar hisoblanadi)

bu yerda

ifoda ikkinchi rang tenzor kontravariant komponentalarining kovariant hosilasi deyiladi. Olingan hosilalar ikkinchi rang tenzorining komponentalari bo’ladilar, ya’ni

yoki

Kovariant hosila uchun quyidagi formulalar o’rinli

Ma’lumki, , bu ifodani koordinata bo’yicha diffirensiallasak,

.

Oxirgi yig’indi faqat k =l bo’lgan holdagina 0 dan farqli. U holda

ga ega bo’lamiz, bu yerdan

Endi (6.11) tenglikdan foydalanib, vektorning A_i kovariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalarini topamiz

.

Oxirgi yig’indida j va k larning o’rinlarini almashtirib,

(6.12)

ifodaga ega, bu erda

formula vektorning kovariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalarini beradi. Xuddi shunga o’xshash istalgan tenzorning kovariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar tushunchasini kiritish mumkin. Oddiy hisoblashlar yordamida

ekanligini isbotlash qiyin emas. Bu esa g_jk larning belgisidan tashqariga chiqarish mumkinligini, ya’ni

ekanligini ko’rsatadi.