Tutash muhitlar

ob’yektlarni bazis vektorlari deb ataymiz.

Ko’rinib turibdiki bunday bazis vektorlari koordinat chiziqlarining urinmalari bo’ylab yo’naladilar (4.1-chizma) . Umuman olganda d ixtiyoriy yo’nalgandir, lekin har qanday holda ham (4.15) ga ko’ra d ni

(4.16)

yoki

ko’rinishda yozish mumkinkin. (Ushbuni Dekart koordinatalari sisitemasidagi ifodasi (4.2) bilan solishtiring). Bu yerdagi d ⁱ lar ning komponentalari deyiladi.

Bazis vektorilari larning ¹, ², ³ koordinat sistemasidagi koordinatalari mos ravishda (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) lardan iborat. Shu bazis vektorlarning ¹, ², ³ koordinat sistemasidan farqli, boshqa koordinatalar sistemasidagi koordinatalari albatta boshqacha bo’ladi. Biror ¹, ², ³ koordinat sistemasidagi bazis vektorlarini lar bilan belgilaymiz. U holda qaralayotgan ob’yekt uchun

(4.17)

formulaga ega bo’lamiz. Ta’rifga ko’ra bu yerda

(4.18)

Oxirgi formulani quyidagicha o’zgartiramiz:

yoki (4.19)

Endi dⁱ komponentalar uchun (4.12) va (4.13) ifodalarga ko’ra

(4.20)

Oxirgi (4.19) va (4.20) formulalardan foydalanib ning koordinatalar sistemasini almashtirishga nisbatan invariantligini isbotlash qiyin emas. Haqiqatan (4.17) dan

chunki (4.11) va (4.13) larga ko’ra

Koordinatalar sistemalari almashtirilganda xuddi bazislariga o’xshash (4.19) formula bilan almashtiriluvchi kattaliklar kovariant kattaliklar, (4.20) formulalar bilan almashtiriluvchi kattaliklar kontravariant kattaliklar deyiladi.

3. Bundan oldingi ma’ruzada keltirilgan mulohazalar fazoning bitta ixtiyoriy, ammo fiksirlangan nuqtasiga oid edi. Bunday mulohazalarni butun fazoga yoyish uchun nuqtaning ixtiyoriyligidan tashqari qaralayotgan fazo uchun metrika (o’lchov) tushunchasini ham kiritish zarur bo’ladi. Ma’lumki fazoning metrikasi deganda odatda shu fazoda uzunlikni aniqlash usuli tushuniladi. Biror vektorning uzunligini aniqlash uchun uning o’zini-o’ziga skalyar ko’paytirish yetarli, ya’ni

Bu yerdagi bazis vektorlarining skalyar ko’paytmasini g_ij lar orqali belgilaymiz, yani

U holda d vektorning uzunligi uchun

(5.1)

formulaga ega bo’lamiz. Kiritilgan yangi g_ij kattaliklar yordamida ixtiyoriy vektorning uzunligini quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu ifoda istalgan vektorning uzunligini uning komponentalari va bazis vektorlarining skalyar ko’paytmasi orqali ifodalashga imkon beradi.

Vektorning uzunligi koordinat sistemasini tanlashga nisbatan invariantdir. Ushbu faktni o’tgan ma’ruzada ham ta’kidlagan edik va bunday invariantlik ifodasi (2.21) dan iborat edi. Ana shu ifodaga asosan vektorning uzunligi

ko’rinishni oladi. Bundan

(5.2)

ya’ni kiritilgan g_pq - kattaliklar kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. Ko’rinib turibdiki g_ij kattaliklar uchinchi tartibli matrisani tashkil qiladilar. Bu matrisaning determinanti noldan farqli bo’lishini talab qilamiz, yа’ni

bo’lsin. U holda ga teskari matrisa mavjud bo’ladi va algebra kursidan malumki uning elementlari

g ^ij = k ^ij /  (5.3)

formuladan topiladi, bu yerda k^ij - matrisaning to’ldiruvchi minorlari, g_ij kattaliklar (5.2) formulaga asosan kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. U holda g ^ij kattaliklar xuddi ikkinchi rang tenzorning T^ijkomponentalari singari (2.24) formulaga ko’ra kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar, ya’ni

(5.4)

Hosil qilingan g ^ij kattaliklari va bazis vektorlari yordamida

ikkinchi rang tenzorga ega bo’lamiz, hamda birorⁱkoordinatalari sistemasida

(5.5)

obyektlarni kiritamiz. Bu yerda masalan ixtiyoriy g¹ⁱ vektor quyidagiga teng

ya’ni g^1jlarga ko’paytirilgan uchta bazis vektorlarining yig’indisidan iborat.

Shunga o’xshash boshqa ¹, ², ³ koordinatalari sistemasida ham

kabi ifodani qabul qilish mumkin. Oxirgi (5.4), (5.5) va (2.19) formulalarga asosan bazis vektorlarini almashtirish formulalarini keltirib chiqaramiz

chunki

demak

(5.6)

Ko’rinib turibdiki bazis vektorlari kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar va shuning uchun ham kontravariant bazis vektorlari deb ataladilar. Mos ravishda bazis vektorlari kovariant bazis vektorlari deb yuritiladi.

Yuqorida aytilganlardan ma’lumki matrisa matrisaga teskari matrisadir. Shuni hisobga olgan holda (5.5) ifodani larga nisbatan yechib

(5.7)

ifodaga ega bo’lamiz. Xuddi shunga o’xshash, ixtiyoriy boshqa ¹, ², ³ koordinatalari sisietmasida ham

formula o’rinli bo’ladi va bu yerdagi kattaliklar (5.2) formula yordamida almashtiriladilar.

Ko’rinib turibdiki g_ij ifoda koordinat sistemasiga bog’liq bo’lmagan invariant obyekt bo’ladi, chunki bu yerdagi ko’paytma kontravariant bazis vektorlarining diad ko’paytmalari va shuning uchun ham (5.6) formulaga asosan

(5.8)

kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar. Bundan tashqari

bo’ladi, ya’ni qaralayotgan obyekt ikkinchi rang tenzorni tashkil etadi.

Shunday qilib,

(5.9)