Tutash muhitlar mexanikasining predmeti va usullari

Indeksli belgilash; to’g’ri burchakli va egri chiziqli koordinata sistemalari.

13. 
    Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish
    

Yuqorida biz Dekart koordinatalar sistemasida koordinatalarni almashtirish bilan tanishdik. Endi ixtiyoriy ikkita ¹, ², ³ va ¹, ², ³ koordinat sistemalari (egri chiziqli) koordinatalarini almashtirish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik bu ikki sistema o’rasida uzluksiz, o’zaro bir qiymatli moslik
( ¹, ², ³), ( =1, 2, 3) (4.8)
mavjud bo’lsin. Bu funksiya (moslik)ni ¹, ², ³ lar boyicha defferensiallaymiz
(4.9)
yuqorida indekslarga doir keltirilgan mulohazalarga asosan (4.9) ni
(4.10)
ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda j-gung indeks. Agar
(4.11)
deb belgilab olsak (4.9) ifodaga ko’ra miqdorlar uchinchi tartibli matrisani tashkil etishlarini ko’ramiz
.
O’zaro bir qiymatlilik shartidan bu matrisaning determinanti noldan farqli ekanligi kelib chiqadi, ya’ni

u holda (4.9) sistemani dⁱ larga nisbatan yechsak quyidagi munosabatni olamiz
(4.12)
Quyidagicha belgilash kiritamiz
(4.13)
U holda (4.12) ifodaning koeffisiyentlaridan tuzilgan B= matrisaga ega bo’lamiz. A va B matrisalar to’g’ri va teskari almashtirishlarning o’tish matrisalari deyiladi. Bu matrisalar o’zaro teskari matrisalardir. Haqiqatan, (4.11) va (4.13) ifodalarga asosan

chunki ¹, ², ³ lar o’zaro bog’lanmagan koordinatalardir. Demak,
(4.14)
bu yerda

ya’ni yuqorida ko’rilgan Kroneker simvoli. Oxirgi (4.14) tenglik A va B matrisalarning o’zaro teskari matrisalar ekanligini ko’rsatadi. U holda B matrisaning determinanti

formula bilan topiladi.
Endi egri chiziqli koordinatalar sistemasida bazis vektorlarini kiritish zaruriyati paydo bo’ladi. Buning uchun boshi biror M nuqtada bo’lgan ¹, ², ³ koordinatalar sistemasini olamiz va uning M (0, 0 ,0) hamda (d¹, d², d³) nuqtalarini bog’lovchi ob’yektni (4.1.- chizmada strelka bilan ko’rsatilgan) qaraymiz.
Shundan keyin M nuqtadan koordinat chiziqlarni o’tkazamiz va ularda faqat d¹, d², d³ koordinat orttirmalaridan biri bilangina aniqlanadigan N₁, N₂ va N₃ nuqtalarni belgilaymiz.
Quyidagi geometrik
(4.15)
ob’yektlarni bazis vektorlari deb ataymiz.
Ko’rinib turibdiki bunday bazis vektorlari koordinat chiziqlarining urinmalari bo’ylab yo’naladilar (4.1-chizma) . Umuman olganda d ixtiyoriy yo’nalgandir, lekin har qanday holda ham (4.15) ga ko’ra d ni
(4.16)
yoki

ko’rinishda yozish mumkinkin. (Ushbuni Dekart koordinatalari sisitemasidagi ifodasi (4.2) bilan solishtiring). Bu yerdagi d ⁱ lar ning komponentalari deyiladi.

Bazis vektorilari larning ¹, ², ³ koordinat sistemasidagi koordinatalari mos ravishda (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) lardan iborat. Shu bazis vektorlarning ¹, ², ³ koordinat sistemasidan farqli, boshqa koordinatalar sistemasidagi koordinatalari albatta boshqacha bo’ladi. Biror ¹, ², ³ koordinat sistemasidagi bazis vektorlarini lar bilan belgilaymiz. U holda qaralayotgan ob’yekt uchun
(4.17)
formulaga ega bo’lamiz. Ta’rifga ko’ra bu yerda
(4.18)
Oxirgi formulani quyidagicha o’zgartiramiz:

yoki (4.19)
Endi dⁱ komponentalar uchun (4.12) va (4.13) ifodalarga ko’ra
(4.20)
Oxirgi (4.19) va (4.20) formulalardan foydalanib ning koordinatalar sistemasini almashtirishga nisbatan invariantligini isbotlash qiyin emas. Haqiqatan (4.17) dan

chunki (4.11) va (4.13) larga ko’ra
Koordinatalar sistemalari almashtirilganda xuddi bazislariga o’xshash (4.19) formula bilan almashtiriluvchi kattaliklar kovariant kattaliklar, (4.20) formulalar bilan almashtiriluvchi kattaliklar kontravariant kattaliklar deyiladi.

14.