Tutash muhitlar mexanikasining predmeti va usullari

Skalyar va vektorlarni koordinata bo’yicha differensiallash.

20. 
    Kovariant hosila
    

Vektorning kovariant hosilasi
Oldingi ma’ruzalardan ma’lumki ixtiyoriy egri chiziqli ¹, ², ³ koordinatalar sistemasida bazis vektorlari o’zgaruvchi vektorlar bo’lib, ular ⁱ koordinatalarning funksiyalari bo’ladilar. Shuning uchun vektorning hosilasini hisoblashda bu faktni hisobga olishga to’g’ri keladi.
Demak,
(6.6)
va bu yerdagi kattalik yana vektordan iborat bo’ladi va uni bazis vektorlari bo’yicha yoyish mumkin. Bu yoyilmaning komponentalarini Г deb belgilaymiz, ya’ni
(6.7)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdagi Г lar koordinatalarning funksiyalari bo’ladilar va Kristoffel simvollari deb ataladilar. Oxirgi (6.7) ifodani (6.6) ga qo’yib
(6.8)
ga ega bo’lamiz. Bu ifodaning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi i va k lar bo’yicha yigindidan iborat ya’ni i va k lar gung indekslar. Shuning uchun bu yerdagi i va k larning o’rinlarini almashtirib
(6.9)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu ifodada bazis vektorlari oldilaridagi koeffisieyentlar vektorning kontrovariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak,
(6.10)
Quyida hosilalarning xossalari bilan tanishamiz.

21. 
    Tutash muhit harakatini o’rganishda Lagranj nuqtai nazarlari.
    

Muhitning harakati natijasida uning hajmi biror V qiymatga erishadi. Bunda ⁱ koordinatalar ham o’zgaradi. Agar muhitni u bilan bog’langan, uning harakatini kuzatib boruvchi yoki unga yuldosh ⁱ koordinatalar sistemasiga nisbatan qaralsa bu sistema ham o’zgaruvchi bo’ladi. Bu sistema muhit bilan birgalikda cho’ziladi, siqiladi, egiladi va h.k.
Ma’lumki
,
ya’ni (2.2) tengliklarni  ⁱ larga nisbatan yechib, ularni bir qiymatli uzluksiz funksiyalar ko’rinishida tasvirlash mumkin
ⁱ = ⁱ (x ¹, x ², x ³, t) (2.3)
Harakati qaralayotgan alohida nuqtaning (t – t₀) vaqt davomidagi ko’chishini bilan belgilaymiz. U holda fiksirlangan ⁱ koordinatalar uchun alohida nuqtaning tezligi – radius-vektordan vaqt bo’yicha olingan hususiy hosilaga teng bo’ladi, ya’ni:
. (2.4)
Bu yerdan ko’rinadiki, tezlik sanoq sistemasiga nisbatan hisoblanadi. Yo’ldosh koordinat sistemaga nisbatan esa muhit tinch holatda bo’ladi va shuning uchun alohida nuqtaning yo’ldosh sistemasiga nisbatan tezligi 0 ga teng boladi.
Ma’lumki u holda
(2.5)
bu yerdan
(2.5¹)
Yuqoridagi (2.5) tenglikni vaqt bo’yicha differensiallab tezlanishning ifodasini topamiz
. (2.6)
Agar sanoq sistemasi sifatida Dekart koordinatalari sistemasini qabul qilsak
(2.7)
Kontinuum nuqtasini alohidalashtiruvchi ¹, ² , ³ koordinatalar va t vaqt Lagranj o’zgaruvchilari deyiladi. Uzluksiz muhit nuqtalarining harakatini alohida – alohida o’zgarish va zaruriy parametrlarni (tezlik, tezlanish, zichlik, temperatura, energiya, kuchlanish, deformatisiya va h.k.) ⁱva t larning uzluksiz funksiyalari deb qarash tutash muhitning harakatini o’rganishga Lagranj nuqtai nazarini tashkil etadi.

22.