Tursunova dildora akmaljonovnaning

1.3.2расм

А₃А₁А₂= А₃А₁А₄= А₄А₁А₂=90°,
А₁А₂=А₁А₃=А₁А₄; М₁, М₂, М₃, М₄ — оғирлик марказлари (мос томонлар медианалари кесишиш нуқтаси), Н₁, Н₂, Н₃, Н₄ — баландликлар асослари, тетраэдр томонларига туширилган. Ц — унинг центроиди (бунда учларини ҳисобга олган ҳолда А₁М₁ кесмани 3:1 нисбатда бўлувчи нуқта.

II босқич : таҳлил
1)М1=Н1 хусусиятига кўра тенг ёнли учбурчак. 2) А1=Н2=Н3, тўғри бурчакли учбурчак. 3) А1 тўғри бурчак учи А1А2А3 учбурчакнинг ортомаркази ҳам бўлади. 4) М1 гипотенузанинг маркази (М1А1= М1А2= М1А3 ) ташқи чизилган айлана маркази ҳам бўлади. 5) М1М2М3—серединный треугольник 6) Н1Н2Н3 ортоучбурчак А1М1 кесмага ўзгаради. 7) А2 ва А3 учлардан туширилган баландлик кесмалари ўрталари, ортомарказдан мос учгача А1А2, А1А3 томонларнинг ўрталари билан мос равишда устма – уст тушади.	1) М1=Н1, А2А3А4 учбурчак — тенг ёнли ва унинг барча медианалари баландлик ҳам бўлади (ортомарказли тет­раэдр хоссасига кўра, А1 учдан туширилган баландлик асослари баландликлар кесишиш нуқтаси билан устма – уст тушади). 2)А1=Н2=Н3=Н4, мос ёқлар тўғри бурчакли учбурчак бўлади; 3) А1 тўғри бурчак учи А1А2А3А4 тетраэдр ортомаркази ҳам бўлади. 4) Ташқи чизилган сфера маркази А1Н1 баландликк эга, А2А3А4 ёққа туширилган тўғри чизиқда ётади (Н1 бу ёқнинг медианалар кесишиш нуқтаси М1 билан устма – уст тушади, учбурчак учларидан тенг узоқликдаги фазонинг нуқталар тўплами эса унинг медианалар кесишиш нуқтасидан ўтувчи перпедикулярдир). 5) М1М2М3М4 — ўрталик тетраэдр. 6) Ортотетраэдр Н1Н2Н3Н4 А1М1 кесмага ўзгаради. 7) А2,А3, ва А4 учлардан туширилган баландлик кесмалари ўрталари, ортомарказдан мос учгача А1А2, А1А3 ва А1А4 қирраларнинг ўрталари билан мос равишда устма – уст тушади.
III босқич : хулосалар
1) Учбурчак ортомаркази, унинг центроиди ва ташқи чизилган айлана маркази А1М1 битта тўғри чизиқда ётади (Эйлер тўғри чизиғи). 2) Точки А1, М1, М2, М3 нуқталар маркази А1М1 кесма ўртасида бўлган радиусли битта айланада ётади. Исбот: О — А1М1 ўртаси бўлсин. У ҳолда А1М2М1 ва А1М3М1 учбурчаклар тўғри бурчакли (учбурчакнинг ўрта чизиқлари хоссасига кўра) ва келиб чиқади, М2О= М3О= , тўғри бурчакли учбурчаклар медианалари каби. 3) Шундай қилиб, ўрталик тетраэдр, ортотетраэдр учлари битта сферада ётади (Эйлера сферасида) 4) Эйлера айланаси радиуси ташқи чизилган айлана ярмига тенг.	1) Тетраэдр ортомаркази, унинг центроиди ва ташқи чизилган айлана маркази А1М1 битта тўғри чизиқда ётади (Эйлер тўғри чизиғи). 2) Точки А1, М1, М2, М3 ва М4 нуқталар маркази А1М1 кесма ўртасида бўлган радиусли битта сферада ётади. Исбот: О — А1М1 ўртаси бўлсин. Симметрикликка кўра бирорта ён ёғи учун исботлаш етарли, масалан, А1А2А4 учун. К - А4А2 ўртаси бўлсин, у ҳолда М3 А1К кесмада ётади, шу билан бирга, А1М3=2М3К. М1 нуқтадан перпендикуляр А1А2А4 ёққа перпендикуляр туширамиз. Проекция хоссасига кўра бу перпендикуляр асоси бу ёқнинг медианалар кесишиш нуқтасига тушади, яъни, М3 нуқтага. Шундай қилиб, А1М1 гипотенузали А1М3М1 тўғри бурчакли учбурчак. Бундан келиб чиқадики, тўғри бурчакли учбурчаклар хусусиятидан келиб чиққан ҳолда М1М3= . 3) Шундай қилиб, ўрталик тетраэдр учлари, ортотетраэдр битта чферада ётади (Эйлер сфераси) 4) Мисол сифатида бу чфера тетраэдр қиррасини қандай нисбатдаги кесмаларга бўлишини ҳисоблаш мумкин.

Кейинги дарсларда координаталар методи ёрдамида текис ҳолатдан фазовий ҳолатга умумлаштиришни кўриш мумкин. Юқорида келтирилган мисолга қайтган ҳолда, координаталарни шундай киритиш мумкинки, А₁ нуқта (0;0), А₂ нуқта (4;0), А₃ нуқта (0;4) координатага, бошқа нуқталар координаталари: М₁ (2;2), М₂ (0;2), М₃ (2;0), Ц( ).А₁, М₂ ва М₃ нуқталардан ўтувчи айлана тенгламасини (айланани аниқлаш учун учта нуқта етарли) кўринишда (х-а)²+(у-b)²=R² келтириб чиқарамиз. У ҳолда: (0-а)²+(0- b)²= R² а²+b² = R² ,

(0-а)²+(2- b)²= R² а²+4-4b+b² = R² ,
(2-а)²+(0- b)²= R² 4-4а+а²+b² = R² ,
Бу учта тенгламали системадан а=1, b=l, R= ва (х-1)²+(у-1)²=2 айлана тенгламасини ҳосил қиламиз. М₁ нуқта координаталарини ҳосил қилинган тенгламага мос равишда қўйиш билан бу нуқтани айланага тегишли эканлигига ишонч ҳосил қиламиз.
Айнан фазога нисбатан олсак. Фазовий координаталарни шундай киритамизки, А₁ нуқта (0; 0; 0), А₂ нуқта (6; 0; 0), А₃ нуқта (0; 0; 6), А₄ нуқта (0; 6; 0) координатага эга бўлсин. У ҳолда бошқа нуқталар координаталари — М₁ (2; 2; 2), М₂ (0; 2; 2), М₃ (2; 2; 0), М₄ (2; 0; 2), Ц .
А₁,М₁,М₂ ва М₃ нуқталардан ўтувчи сфера тенгламасини келтириб чиқарамиз (сферани аниқлаш учун тўртта нуқта етарли). Сфера тенгламаси қуйидаги кўринишга эга бўлади (х-1)²+(у-1)²+(у-1)²+(z-1)²=3. Бошқа нуқталарни сферага тегишли ёки тегишли эмаслигини аниқлаш учун бу нуқталар координаталарини сфера тенгламасига мос равишда қўйиш етарли.
Э йлера формуласи иҳтиёрий учбурчакда ташқи чизилган айлана радиуси R ва ички чизилган айлана радиуси r орасида ва бу айланалар марказлари орасидаги масофа d орасида ўзаро боғлиқликни ўрнатади (1.3.3 расм.).

1.3.3. расм

Стереометриядаги планиметрия материалларининг узвийлиги стереометрия бўйича олинадиган янги билимларнинг сифатини ҳам оширади. Ўқувчилар ҳаракати автоматлашади, яъни кўникмага айланади.

Энди геометрик масалаларни ечишдаги узвийликни кўриб чиқамиз. Лицей ўқувчиларига учбурчак юзасини ҳисоблаш Герон формуласи яхши таниш
S= ,
Бу ерда а, в, с – учбурчак томонлари, р – ярим периметр.
Бу формула каттароқ бўлсада, осон ва узоқ вақт эсда қолади. Унинг ўхшаши стереометрия курсида тетраэдр ҳажмини ҳисоблашда келиб чиқади. Бироқ, дарсликларда тетраэдр ҳажмини унинг қирралари узунликлари бўйича ҳисоблаш масалалари учрасада, бу савол алоҳида кўриб чиқилмайди. Тетраэдрни қирра узунликлари мураккаб берилсада, уни ҳажмини ҳисоблаш формуласини келтириб чиқариш ўқувчилар учун қийинчилик туғдирмайди. Агар уларга бир нечта мустақил ечиш учун масалалар берилса, иш осонлашади.
Биз бошланишига сонли қийматлар берилган масалаларни ечишни таклиф қиламиз.
Масала 1.3.1. АВСD тетраэдр ҳажмини ҳисобланг, агар DА=3, DВ=4 DС=АВ=5, ВС= , АС= бўлса. (1.3.4. расм).
Ечиш. АВD – пирамида асоси бўлсин. DА=3, DВ=4, АВ=5 бўлгани учун, у ҳолда ∆АВD – тўғри бурсакли ( АDВ=90°), унинг юзи га тенг. Масала ечимини топмш учун тетраэдрнинг СН баландлиги топиш зарур. Олдин D уч бўйича тетраэдрнинг текис бурчакларини топамиз. Косинуслар теоремаси ёрдамида буни осон амалга оширса бўлади: агар ВDС=α ва АDС=β бўлса, унда ∆DВС да

соs α = , α=60°

Шунга ўхшаш топамиз, ∆ АDС да =60°. СМ АD ва СN ВD ўтказамиз. У ҳолда НМ АD ва НN ВD (учта перпендикуляр ҳақидаги теоремага кўра).

СDМ ва СDN тўғри бурчакли учбурчаклар гипотенуза ва ўткир бурчаклари бўйича ўзаро тенг, демак, DМ=DN= (30° бурчак қаршисида ётган катет бўйича).
DНМ ва DНN учбурчаклар ҳам ўзаро тенг, яъни DН – АDВ бурчак биссектрисаси.
Топамиз, DН= ва СН= .
Формула бўйича .

Масала 1.3.2. Тетраэдр ҳажмини униг барча қирралари узунликлари орқали ифодаланг. (1.3.5 расм).

Е чиш. САВD тетраэдр қирраларини: DА=а, DВ=в, DС=с, ВС=а₁, СА=в₁, АВ=с₁ деб белгилаймиз. Косинуслар теоремаси ёрдамида ∆ВСD, ∆САD ва ∆АВD лардан (1.3.5 расм) D уч бўйича текис бурчаклар косинуслари қийматларини СDВ=α, СDА=β, АDВ=γ белгилашлар киритиб ифодалаймиз
соs α=
соs β =
соs γ =
Бу қийматларни формулага қўйиб
,
топамиз:

Топилган формула каттароқ бўлсада, тетраэдр барча қирралари узунликлари берилган бўлса, ўқувчилар тетраэдр ҳажмини у ёрдамида ҳисоблаш мумкинлигини биладилар. Энг асосийси, ўқувчиларнинг бу формулани мустақил чиқарганлари муҳим.
Шундай қилиб, лицейда геометрияни ўқитишдаги узвийликни академик лицей ўқувчиларининг малака ва кўникмаларини оширишда асосий фактор сифатида геометрия курснинг бир неча бўлими орқали кўриб чиқдик.