Tub modul bo’yicha sonlar va indekslar jadvali.”

6-natija. Agar bo’lsa, u holda son ko’rsatkichga tegishli bo’ladi.
3-misol. 3 soni 7 modul bo’yicha 6 ko’rsatkichga tegishli, Chunki soni bo’lgani uchun 7 modul bo’yicha 3 ko’rsatkichga tegishli bo’ladi.
Haqiqatan,

1.2-§. Berilgan tub modul bo’yicha boshlang’ich ildizlar soni
Aytaylik, biror son ko’rsatkichga tegishli bo’lsin. Chegirmalarning keltirilgan sistemasidagi sonlardan shu ko’rsatkichga tegishli bo’lganlarini topish bilan shug’ullanamiz. Ma’lumki, modul bo’yicha ko’rsatkichga tegishli chegirmalar
(1)
taqqoslamalarning yechimlari ichida yotadi, (1) taqqoslamaning yechimlari esa chegirmalari
(2)
dan va modul bo’yicha tuzilgan sinflardan iborat.
Haqiqatan, 1) bo’lgani uchun (2) sistema (1) ni qanoatlantiradi.
2) (2) qatorning har bir elementi 29-mavzudagi 2-teoremaga asosan, r modul bo’yicha turli sinflarga tegishlidir.
3) (2) da bu chegirmalar soni δ ga teng,
(1) taqqoslamada modul tub bo’lgani uchun uning echimlari soni δ dan ortiq emas. Endi biz topilgan echimlar ichidan ko’rsatkichga tegishli bo’lganlarini izlaymiz.
Ma’lumki, 1.1-mavzudagi 1-teoremada bir xil ko’rsatkichga tegishli bo’lgan chegirmalar sinfi haqida gap borgan edi, ya’ni har bir sinfning barcha chegirmalari bitta ko’rsatkichga tegishli bo’lib, bu ko’rsatgich ning bo’luvchisidan iborat bo’lardi. Endi masalani aksincha qo’yamiz:
ning har bir bo’luvchisi modul bo’yicha tuzilgan biror sinfning ko’rsatkichi bo’ladimi? Har qanday modul bo’yicha boshlang’ich ildiz mavjudmi? Bu savollarga quyidagi lemma yordamida javob berish mumkin.