Tub modul bo’yicha sonlar va indekslar jadvali.”

1-misol. x⁵= 14 (mod41) taqqoslamani eching.
Bu taqqoslamaning ikkala qismini indekslaymiz. U holda
5indxind14 (mod40).
Jadvalga asosan, ind 14=25. Demak, 5 ind x 25(mod 40) yoki ind x 5(mod 8).
(5;40)=5 bo’lgani uchun berilgan taqqoslama 41 modul buyicha 5 ta echimga ega bo’ladi. U echimlar
ind x₁5 (mod 40), ind x₂13 (mod 40), ind x₃ –1 (mod40),
indx₄29 (mod 40), ind x₅37 (mod 40)
taqqoslamalardan indekslar bo’yicha
x₁27 (mod 41), x₂24 (mod 41), x₃35(mod 41),
x₄22 (mod 41), x₅15 (mod 41).
Endi xⁿa (mod p) taqqoslamaning yyechilish shartini ko’rsatamiz.
Bu taqqoslamaning yechilish shartini keltirib chiqarish uchun uning ikkala qismini indekslab,
n ind x  ind a (mod r–1) (4)
taqqoslamaga ega bo’lamiz.
(n;p–1)=d bo’lganda oxirgi taqqoslamaning yechimga ega bo’lishi uchun inda ning d ga bo’linishi zarur va yetarlidir, ya’ni
ind a=0(mod d) (5)
bajarilishi kerak. (5) ni r va d lar orasidagi bog’lanish orqali ifodalaylik. Buning uchun (5) ning ikkala qismini va modulini ga ko’paytiramiz. U holda (5) taqqoslama bilan teng kuchli bo’lgan inda≡0(mod p-1) taqqoslama hosil bo’ladi. Indekslar tushunchasidan foydalanib, bu taqqoslamani

ko’rinishda yozamiz. 0≡ ind l (mod r-1) bo’lganidan va yuqoridagi taqqoslamaga muvofiq quyidagini yoza olamiz:

Hosil bo’lgan (6) taqqoslama (3) taqqoslamaning yechilish sharti. (6) da n=2 bo’lganda bizda ma’lum bo’lgan Eyler sharti kelib chiqadi. Haqiqatan, bunday holda r tok tub son bo’lgani uchun d = (2; r–1) = 2, ya’ni d=2 bo’lib, (6) taqqoslama

ko’rinishni oladi. Bu esa x²≡a (mod r) taqqoslamaning yechilish sharti edi.
Ushbu
a^x ≡ b (mod r) (7)
ko’rinishdagi taqqoslama ko’rsatkichli taqqoslama deyiladi. Bu taqqoslamani echish uchun uning har ikkala qismini indekslab,
x inda ≡ ind b (mod r–1) (8)
taqqoslamani hosil qilamiz. Bu taqqoslama esa birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslama bo’lib, bunday taqqoslamalarni echishni 23-mavzuda ko’rib o’tgan edik.