Tub modul bo’yicha sonlar va indekslar jadvali.”

Isboti. Indeksning ta’rifiga asosan, quyidagi taqqoslamalarni yozib olamiz:
,
,
………………..
.
Bularni hadlab ko’paytiramiz. U holda
.
taqqoslama hosil bo’ladi. Bundan (2) va (12) ga asosan
(13)
2°. Natural ko’rsagkichli darajaning indeksi modul bo’yicha asos indeksi va daraja ko’rsatkichining ko’paytmasi bilan taqqoslanadi, ya’ni
.
Isboti. Faraz qilaylik, bo’lsin. U holda 1-xoccaga asosan
.
yoki
.
hosil bo’ladi.
3°. ixtiyoriy tub son bo’lganda modul bo’yicha 1 ning indeksi nolga, asos ning indeksi esa 1 ga teng bo’ladi.
Haqiqatan, va bo’lganidan va dir. Demak, indekslar ham logarifmlar kabi xossalarga ega ekan.
II BOB
TUB MODUL BO’YICHA SONLAR VA INDEKSLAR JADVALI.JADVALLARINI TUZISH VA ULARNING TADBIG’I
2.1-§.Ikki hadli taqqoslamalar va ularni yechish
Indekslarning xossalaridan foydalanib, ikki xadli taqqoslamalarni osongina yechish mumkin. Bunday misollarni yechish uchun berilgan son bo’yicha uning indeksini (ma’lum asosga ko’ra) va aksincha keladi. Shuning uchun mazkur qo’llanmaning oxirida 1 dan 103 gacha tub sonlarning indekslari jadvali keltirilgan.
Faraz qilaylik,
(1)
taqqoslama berilgan bo’lib, va toq tub son bo’lsin. Indekslar tushunchasidan foydalanib, (1) ni unga teng kuchli
.
(2)
taqqoslama bilan almashtiramiz. Endi, ni noma’lum sifatida qarab (2) taqqoslamani echamiz. Agar bu taqqoslama umuman yechimga ega bo’lsa, quyidagi ikki holdan biri bo’lishi mumkin:

1. 
   (n; p–1)=1
   
2. 
   (n; p–1)=d>1.
   

Agar 1-hol o’rinli bo’lsa, 22-mavzuga asosan (2) taqqoslama ind x ga nisbatan yagona echimga ega bo’ladi.
Agar ind x = s echim bo’lsa, indekslar jadvalidan foydalanib, x ni topamiz. x ning topilgan qiymati r modul bo’yicha berilgan taqqoslamaning echimi bo’ladi.
2-hol o’rinli bo’lsin, ya’ni (n; r— l)=d>l bo’lsin. Unda quyidagi 2 ta hol yuz beradi:
a) (indb–ind a)xⁿ, ya’ni indb–inda son d ga bo’linmaydi. Bunday holda taqqoslamalarning xossasiga asosan (2) echimga ega bo’lmaydi.
(1) va (2) teng kuchli bo’lgani uchun (1) ham echimga ega bo’lmaydi.
b) (ind b – ind a) d, ya’ni ind b – ind a son d ga bo’linsin. U holda (2) taqqoslamani quyidagicha yozish mumkin:

Bunda bo’lgani uchun oxirgi taqqoslama modul bo’yicha faqat bitta echimga ega bo’ladi. Yana (2) taqqoslama r–1 modul bo’yicha d ta echimga ham ega bo’ladi. Bu echimlarni ind x lar bo’yicha topib, indekslar jadvali yordamida esa (1) ning echimlarini topamiz.
Indekslar odatda biror boshlang’ich ildizga nisbatan tuzilgani uchun har bir taqqoslama echimini albatta dastlab berilgan modul bo’yicha topish kerak. Chunki biz boshlang’ich ildizlar o’zgarishi bilan indekslar ham o’zgarishini ko’rib o’tgan edik.