Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

2.3. Metrik fazoda ochiq va yopiq to’plamlar

Ta’rif: metrik fazoda M to’plam o’z yopilmasiga teng (ya’ni ) bo’lsa , u holda M yopiq to’plam deyiladi.

1-teoremadagi uchinchi xossaga binoan M to‘plamning yopilmasi M ni o‘z ichiga oluvchi eng kichik yopiq to‘plamdir.

Misollar.

1. (R, ρ), ρ(a,b) = |a-b| to‘g‘ri chiziqda ixtiyoriy segment yopiq to‘plamdir.

2. (X,ρ) metrik fazoda ixtiyoriy yopiq shar yopiq to‘plamdir.

Xususan, metrik fazoda tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami yopiqdir.

3. fazoda tengsizlikni qanoatlantiruvchi

funksiyalar to‘plami (ochiq shar) yopiq emas. Uning yopilmasi

to‘plamdir.

4. Ixtiyoriy (X,ρ) metrik fazoda X va Ø to‘plamlar yopiqdir.

5. Metrik fazoda har qanday chekli to‘plam yopiqdir.

Ta’rif. Agar x nuqtaning M to‘plamda butunlay joylashgan atrofi mavjud bo‘lsa, x nuqta M to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi. Agar M to‘plamning hamma nuqtalari ichki bo‘lsa, u M ochiq to‘plam deyiladi. Bo‘sh to‘plam ham ochiq deb hisoblanadi.

Misollar.

6. R to‘g‘ri chiziqda (a,b) interval ochiq to‘plamdir, haqiqatan

x∈(a,b) bo‘lsa, u holda ε=min(x-a, b-x) uchun

7. (X,ρ) metrik fazoda ixtiyoriy ochiq shar ochiq

to‘plamdir. Haqiqatan, agar bo‘lsa, u holda uchun

Xususan, 3-misoldagi

to‘plam metrik fazoda ochiq to‘plamdir.