Toshkent aloqa tehnologiyalari universiteti u. N. Karimova metrologiya va telekommunikatsiya tizimlarida o

X	2F(x)	x	2F(x)	X	2F(x)	x
2F(x)
0,00	0,00000	0,70	0,51607	1,40	0,83849	2,25	0,97555
0,10	0,07966	0,80	0,57629	1,50	0,86639	2,50	0,98758
0,20	0,15852	0,90	0,63188	1,60	0,89040	2,75	0,99404
0,30	0,23585	1,00	0,68269	1,70	0,91087	3,00	0,99730
0,40	0,31084	1,10	0,72867	1,80	0,92814	3,30	0,99903
0,50	0,38292	1,20	0,76986	1,90	0,94257	3,50	0,99953
0,60	0,45149	1,30	0,80640	2,00	0,95450	4,00	0,99994

(2.12) formulani keltirib chiqarishda normal taqsimot funksiyasining vertikal o’qqa nisbatan simmetrikligi hisobga olingan, bu esa integrallashning quyi chegarasini nol qilib olish va integral oldida 2 koeffitsientni kiri­tish imkonini bergan.
2.1-jadvaldan kelib chiqadiki, (2.12) dagi integralning qiymatlari:
. (2.13)
Shunday qilib, o’lchashning tasodifiy xatoliklari 0,68269 ehtimollik bilan ±σ chegaralardan tashqariga chiqmaydi. Tasodifiy xatolik ±3σ chegaralarda 0,99730 ehtimollik bilan joylashadi. Bu munosabat uch sigma qonuni deb ataladi. 0,99730 ni 0,997 gacha yaxlitlab aytish mumkinki, 1000 ta o’lchashdan ehtimol faqat 3 tasi ±3σ dan ortiq xatolik berishi mumkin.
Ayrim kuzatishlar natijalari xos bo’lgan tasodifiy miqdorlar va ularning ehtimolliklarini statistik usul bilan o’rganish mumkin, buning uchun ko’p sonli o’lchashlar o’tkaziladi. Tasodifiy kattaliklarning taqsimot qonun­larini bunday aniqlash etarlicha sermehnat jarayondir. Shu sababli, odatda, nazariy mulohazalar asosida tasodifiy miqdorlar taqsimot funksiyalarining ko’rinishi bashorat qilinadi, keyin esa nisbatan katta bo’lmagan o’lchashlar qatori asosida u miqdordan aniqlanadi. Garchi o’lchashning tasodifiy xatoligiga ta’sir etuvchi ayrim faktorlar turli ehtimollik taqsimot funksiyalariga ega bo’lishi mumkin bo’lsada, lekin natijalovchi funksiya «me’yorlashtirish» hodisasi natijasida Gauss qonuni bilan aniqlanadi. Ama­liyotda uchraydigan ko’p sonli o’lchashlar uchun tasodifiy xatolik ko’p sonli ta’sir etuvchi faktorlar yig’indisi bilan aniqlanadi, shu sababli xatoliklarning normal taqsimot qonuni mavjud deb katta ehtimollik bilan qarash mumkin.
Ilgari qayd etilganidek, tasodifiy xatoliklar mavjud bo’lganida ayrim o’lchash natijasi X_i o’lchanayotgan kattalik­ning asl qiymati X dan farq qilishi mumkin. Bu ayirmani ayrim o’lchashning tasodifiy xatoligi deb ataladi. X ning asl qiymati bizga noma’lum. Biroq tadqiq qili­nayotgan X kattalik ustida ko’p sonli kuzatishlar o’tkazib, normal taq­si­mot uchun xos bo’lgan quyidagi statistik qonu­niyat­larni aniqlash mumkin.
Agar tadqiq qilinayotgan kattalikning o’lchashlar seriyasi o’tkazilsa va o’rtacha qiymat aniqlansa, u holda ayrim kuza­tish­lar natijalarining o’rtacha qiymatdan musbat va manfiy og’ishlari taqriban teng ehtimollikka ega bo’ladi. Buning sababi, kuzatish natijalarining asl qiymatdan kama­yish va ortish tomonlarga og’ishi muntazam xatolik nolga teng bo’lgan holda teng ehtimollikka (chastotaga) egaligi. Qator o’l­chash­lar asosida hisoblangan o’rtacha arifmetik qiymat o’lcha­nayotgan kattalikka berish mumkin bo’lgan eng muqarrar qiy­matdir. Katta sondagi o’lchashlarning turli ishoralarga ega bo’lgan xatoliklari o’zaro yo’qotiladi. Boshqa bir qonu­niyat shundan iboratki, olingan natijadan katta og’ishlar ehtimolligi (chastotasi) kichik og’ishlar ro’y berish ehti­mol­ligidan ancha kichikdir.
Bu statistik qonuniyatlar o’lchashlar ko’p karra takror­lan­ganidagina o’rinlidir. O’lchashlar natijalari ishlab chiqilganidan so’ng mutlaq muqarrar natija emas, balki eng ehtimolli natija hosil bo’ladi va bu natija o’lchashlar qatorining ushbu o’rta arifmetik qiymati bo’ladi:
(2.14)
bu yerda n – o’lchashlar soni. 
Tasodifiy xatolik  ni aniqlash uchun o’lchanayotgan kattalikning asl qiymatini bilish kerak, ammo u noma’lumdir. Ammo o’rtacha arifmetik qiymat o’lchanayotgan kattalikka berilishi mumkin bo’lgan eng muqar­rar qiymatdir. Shu sababli uning bahosi sifatida o’rtacha arifmetik qiymatdan foydalanish mumkin. Bu holda ayrim o’lchash natijalarining o’rtacha arifmetik qiymatdan og’ish­lari   ga teng.
Xatoliklar nazariyasida o’rtacha arifmetik qiymat ushbu shartlarni qanoatlantirishi ko’rsatiladi:
– o’lchashlar soni etarlicha katta bo’lganda ayrim o’lchash­larning o’rtacha arifmetik qiymatdan tasodifiy og’ish­larining algebraik yig’indisi nolga teng:
;
– o’rtacha arifmetik qiymatdan og’ishlar kvadratlari yig’indisi

eng kichik qiymatga ega bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan formulalar kuzatishlarda n→∞ degan shartda keltirib chiqarilgan. Amaliyotda o’lchashlar soni chekli va bu tuzatmalar kiritish zaruratiga olib keladi; o’lchashlar soni ortib borishi bilan tuzatmalarning ahamiyati kamayib boradi, chunki va X borgan sari bir-biriga yaqinlashadi va limitda teng bo’ladi. Bu esa tasodifiy xatoliklar ∆X ga oid barcha xulosalarni (xususan, Gauss qonuni) o’rtacha arifmetik qiymatdan og’ishlariga ham qo’lla­nish mumkinligini ko’rsatadi. Agar X o’rniga o’rtacha  ni va ∆X_i o’rniga U_i ni kiritilsa, u holda (2.10) formula ushbu ko’ri­nishni olishi matematik statistikada isbotlanadi:
(2.15)
Taqribiy hisoblashlarda, ∆X o’rniga U, X o’rniga esa  olinganida o’rtacha kvadratik og’ishni odatda S ning o’rniga δ bilan belgilanadi.
Yuqoridagi munosabatdan n≥10 bo’lganda foydalanish mumkin. (2.15) ifodalardan ko’rinib turganidek, o’lchash­larni 100 marta ko’p o’tkazilganda natijani o’sha ehtimol­lik bilan bitta qo’shimcha o’nlik ishoragacha aniqroq hosil qilish mumkin. Biroq shuni unutmaslik kerakki, mazkur natija o’lchash sharoitlarining doimiyligi va bir xilli­gini ta’minlanganligida hosil qilinishi mumkin. O’lchash­lar soni qancha ko’p bo’lsa, ularni o’tkazish uchun shunchalik ko’p vaqt zarur va bu shartni qanoatlantirish qiyinroqdir.
Shuni nazarda tutish kerakki, n→∞ da = X bo’lishi o’lchash natijalaridan barcha muntazam xatoliklar chiqarib tashlangan va o’lchash asbobining sezgirligi etarlicha katta bo’lganidagina o’rinlidir. Agar amaliy o’lchash sharoitlarida o’lchashlar sonini yuz karra oshirish har doim ham maqsadga muvofiq bo’lavermasa-da, biroq kuzatishlar sonini ikki yoki to’rt marta oshirish o’lchashlar natijasi aniqligi va ishonchliligini sezilarli oshiradi. Jumladan, nazariy jihatdan kuzatishlar soni to’rt marta ortganida o’lchash xatoligining tasodifiy tashkil etuvchisi o’sha ishonchlilik intervalida ikki marta, o’n marta ortganida esa taxminan uch marta kamayadi.
Amaliyotda maksimal xatolik tushunchasidan keng foyda­la­niladi, bunda uch sigma qonuni tushuniladi. Amaliyotda o’lchashlar soni bir necha o’ntadan oshmasligi sababli ±3σ ga teng xatolik paydo bo’lishi kam ehtimollikdir. Shu sababli ±3σ xatolik mumkin bo’lgan maksimal xatolik deb hisoblanadi. ±3σ dan ortiq xatoliklar yanglishuv (kamchilik) hisoblanadi va o’lchash natijalarini ishlab chiqishda hisobga olinmaydi.
Yuqorida qayd etilganidek, o’lchashlar qatorining o’rtacha arifmetik qiymati o’lchanayotgan kattalikning faqat eng muqarrar qiymatiginadir. O’rtacha arifmetik qiymatning o’zini aniqlash xatoligini baholash qiziqish uyg’otadi. Agar o’lchashlar seriyalari o’tkazilsa va har bir seriya uchun o’rtacha arifmetik qiymat hisoblansa, u holda 1,2,3,...,n qiymatlar hosil qilinadi. Bu kattaliklar bir-biridan farq qiladi, demak, ular uchun o’rtacha arifmetik qiymat­dan o’rtacha kvadratik og’ishni aniqlash mumkin. Ayrim kuzatishlar natijalarining tasodifiy xatoliklari normal taqsimotga bo’ysunsa, u holda ularning takroriy qatorlari o’rtacha qiymatlarining xatoliklari ham shu qonunga, biroq endi boshqa tarqoqlik bilan bo’ysunadi. O’rtacha qiymatlar­ning tarqoqligi ayrim kuzatishlar natijalari­ning tar­qoqligidan kichikdir. Ehtimollik nazariyasida ushbu teorema isbotlangan: n ta bir xil taqsimlangan o’zaro erkli tasodi­fiy kattaliklar o’rtacha arifmetik qiymatining o’rtacha kvadratik og’ishi bu kattaliklardan har birining o’rtacha kvadratik og’ishidan ∆ marta kichik. Bu teorema asosida o’rtacha arifmetik qiymat uchun o’rtacha kvadratik og’ishning ushbu ifodasini hosil qilamiz:
(2.16)
bu yerda  – o’lchashlar qatori o’rtacha arifmetik qiyma­tining o’rtacha kvadratik xatoligi; s – ayrim o’lchashning o’rtacha kvadratik xatoligi, n – seriyadagi o’lchashlar soni. Bu ifodadan ko’rinib turibdiki, takroriy o’lchashlar soni n ni oshirish o’lchashlar natijasi xatoligini marta kama­yishiga olib keladi.
Amaliyotda (ayniqsa, n ning kichik qiymatida) olingan natijalarning ishonchliligini va aniqligini baholash zarur. Bu maqsadda ishonchlilik intervali va ishonchlilik ehtimolligidan foydalaniladi. Ishonchlilik ehtimolligi deb, biror qabul qilingan chegaralardan chiqmaydigan xato­likning paydo bo’lish ehtimolligi tushuniladi. Bu inter­val ishonchlilik intervali, uni xarakterlaydigan ehti­mollik p esa ishonchlilik ehtimolligi deb ataladi.
Gauss taqsimot qonunida ehtimollik integrali jadvali bo’yicha ishonchlilik intervallari chegaralarini aniqlash mumkin. Ishonchlilik intervallari ortganida (kengayga­nida) ishonchlilik ehtimolligi qiymati o’sadi va o’zining 1 ga teng limitiga intiladi. Yuqorida qayd etilganidek, ±3δ interval uchun ehtimollik qiymati 0,9973 ni tashkil etadi. Kiritilgan yangi tushunchalar orqali buni quyidagicha talqin etish mumkin: -3δ dan +3δ gacha bo’lgan ishonchlilik intervali uchun ishonchlilik ehtimolligi 0,9973 ga teng. Ayrim o’lchashning xatoligini baholash uchun, shuningdek, ehtimoliy xatolik p dan foydalaniladi, bunda bu katta­lik­ning xususiyati shundaki, u mazkur n ta o’lchash qatori­ning barcha tasodifiy xatoliklarini ikkita teng qismga ajratadi; birida n/2 ta p dan ortiq tasodifiy xatoliklar, ikkinchisida esa n/2 ta p dan kichik tasodifiy xatoliklar yotadi. Boshqacha aytganda, biror tasodifiy xatolikning -p dan +p gacha chegaralarda yotish ehtimolligi 0,5 ga teng bo’lishi lozim. Gauss qonuni uchun ehtimoliy xatolik quyidagiga teng:
(2.17)
Ishonchlilik intervallarini (2.11) munosabatdan foyda­lanib aniqlash o’lchashlar soni n=17 bo’lgandagina o’rinli­dir. Amaliyotda xatoliklarni nisbatan katta bo’lmagan son­dagi o’lchashlar natijalari bo’yicha aniqlashga to’g’ri keladi. Mazkur holda (2.11) formulaning qo’llanilishi ishonchlilik intervalining pasaygan qiymatini beradi, ya’ni o’lchash aniqligining bahosi haqsiz ravishda oshirilgan bo’lib chi­qadi. Bu holda ishonchlilik intervalini berila­digan ishonch­lilik ehtimolligi p va o’lchashlar soni n ga bog’liq bo’lgan Styudent koeffitsientlari t_n lar orqali aniqlash­tirish mumkin.
Ishonchlilik intervalini aniqlash uchun o’rtacha kvad­ratik xatolikni Styudent koeffitsientiga ko’payti­rish lozim. Pirovard natijani bunday yozish mumkin:
.