Teskari matritsa Qoʻshma matritsa tushunchasi

Teskari matritsa
1.Qoʻshma matritsa tushunchasi


1-ta’rif. kvadrat matritsaning har bir elementini unga mos algebraik toʻldiruvchisi bilan almashtirish natijasida hosil qilingan matritsa ustida transponirlash amalini bajarishdan hosil boʻlgan matritsa berilgan matritsaga qoʻshma matritsa deyiladi.
Masalan,

matritsaga qoʻshma matritsa

koʻrinishda boʻladi.
Misol. Quyidagi matritsa uchun qoʻshma matritsa topilsin.
Yechilishi. ► Matritsaning barcha elementlariga mos algebraik toʻldiruvchilarni hisoblaymiz:




Shunday qilib, berilgan kvadrat matritsaga qoʻshma boʻlgan matritsa

koʻrinishda aniqlanadi. ◄


2. Xos va xosmas matritsalar. Teskari matritsa mavjudligining zaruriy va yetarli sharti.
2-ta’rif. Agar kvadrat matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, matritsa xosmas matritsa deyiladi.
3-ta’rif. Agar bo‘lsa, matritsa xos matritsa deyiladi.
4-ta’rif. Agar kvadrat matritsa uchun tenglik bajarilsa, u holda matritsa matritsaga teskari matritsa deyiladi.
1-teorema. kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun matritsa xosmas matritsa bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi: Faraz qilaylik matritsa uchun teskari matritsa mavjud bolsin, u holda determinantning xossasiga ko‘ra, boʻladi. Bundan, agar teskari matritsa mavjud boʻlsa ekanligini kelib chiqadi.
Yetarliligi: Faraz qilaylik, A n tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, bo‘lsin.. matritsaga qo‘shma matritsani quramiz
va matritsalar ko‘paytmasini qaraymiz:
.
ko‘paytmaning har bir elementi
yigindidan iborat bo‘ladi. U holda Laplas teoremasi va uning natijasiga ga ko‘ra
,
Qaysiki, bu yerda
Bundan va matritsalar ko‘paytmasi, quyidagi skalyar matritsaga teng boladi.
.
Bundan, . (*)
Xuddi shu usulda (**)
Tenglikni keltirib chiqarish mumkin. U holda (*) va (**) tengliklardan
,
Yoki (***)
kelib chiqadi. Haqiqatan ham (*) dan ,
va (**) dan bu qurilgan matritsa matritsaga teskari matritsa bo‘ladi, ya’ni Teorema isbotlandi.
Yuqoridagi (***) tenglik teskari matritsani hisoblash qoidasini beradi.