Termodinamika va statistik fizika

  •••>  C6N >^)>  PsN 
P i N   ( Cl i C2 >  •■•>  C6JV 
1

---

fu n k siy a la r  m a ’lu m   b o ‘lsin.  B u  y e rd a   c p  c2, 
c6N  -  
6
N   ta  
b o sh lan g 'ich   s h a rtla rg a   m os  k elu v ch i  h a ra k a t  in teg rallarid ir. 
Fazalar fazosidagi h a r  b ir n u q ta  sistem an in g  aniq v a q t m om enti- 
dagi  m ikro  holatini  aks  ettirad i.
Fazoviy  k o o rd in ata  sistem asidagi  n u q ta d a n   farq   qilish  u c h u n  
faz a la r  fazosidagi  n u q ta   ta s v iriy   n u q ta   d e b   atalad i.  F a z a la r 
fazosidagi  sistem a  holatin in g   o'zgarishini  aks  e ttiru v c h i  tra e k - 
to riya  ta sv iriy   tra e k to riy a   yoki  sistem aning  faza  p o rtre ti  d ey i- 
ladi.  Sodda  qilib  g ap irg a n d a  faza  p o rtre ti  (1.1)  ten g lam alard an  
kelib  chiqad ig an  p  =  p(q,  с)  b o g 'la n ish la r  g rafigidir.  D em ak, 
m etodning  afzalligi  sh u n d a n   ib o rat  ekanki,  (
1
.
1
)  te n g lam a larn i 
y e c h m a sd a n   sistem an in g   faza  p o rtre tid a n   foy d alan ib   faz a la r 
fazosida  sistem a  h a ra k a tin in g   u m u m iy  x u su siy atlarin i o 'rg an ish  
m um kin.  S h u n i  t a ’kidlash  lozimki,  b u   m etod   sistem aning  e rk in ­
lik  d arajasi  ju d a   k o ‘p  b o 'lg an   (m akrosistem a)  h ollarda  av v al- 
giday  m u ra k k a b   m a te m a tik   m asalaga  aylanadi.  S h u n g a  q a ra - 
m asd an  sta tistik  fizika asoslarini y a ra tish d a   m u h im  rol o ‘ynaydi.
B u  tu sh u n c h a la rn i  b ir  erk in lik   d arajasig a  ega  b o 'lg an   sis­
te m a  u c h u n   k o 'rib   chiqam iz.  S oddalik  u c h u n   chiziqli  g a rm o - 
nik  ossillatorning  fazav iy   tra e k to riy a sin i  o'rganaylik.  G arm o - 
n ik   o ssillator  k vazielastik  k u c h   F  =   ~ k x   t a ’siri  ostida  x  =   0 
n u q ta  atro fida  h a ra k a t  qilsin.  H a ra k a t  tenglam asi
ko‘rin ish d a  bo'ladi.  Bu  y e rd a   u> = y jk /m   ,  к   -   elastiklik  ko ef- 
fitsiyenti,  m   -   ossilatorning  massasi.  T eng lam a  yechim ini
K o o rd in ata  v a  im puls  ifod alarid an   v a q tn i  yo‘qotam iz  h am d a 
n a tija d a :
tenglikni  hosil  qilamiz.  Bu  esa  y arim o ‘q lari  a  =  A   va  b  =   Au/m 
bo'lgan  ellips  tenglam asidir.  D em ak,  chiziqli  garm onik  ossillator­
ning  faza lar  fazosidagi  ta sv iriy   trae k to riy a si  yoki  faza  p o rtre ti 
ellipsdan  ib o rat  ekan.
x  +  
lu
2
x
  = 
0
a:  =  Asin(u;f  +   a) 
k o 'rin ish d a  qidiram iz.  U  holda  ossillator  im pulsi 
p   —  Aumcos(u>t  +  a).
(1.4)
13

---

Ellipsning  yuzasi
5   =  (J) p d x   = 
7
Г rriLuA1,
ossillatorning  energiyasi  esa
te n g   b o ‘ladi.  Siklik  ch asto ta  и   —  2i
tv
  ekanligini  hisobga  olsak, 
g arm o n ik   ossillyator  energiyasi  yoki  d avriy   h a ra k a t  Im jarayot- 
g an   b itta   z a rra d a n   tash k il  to pg an   sistem aning  energiyasi  quyi- 
d agiga  ten g   bo'ladi:
B u  y e rd a   k o o rd in ata  va  im puls  um u m lash g an   koordinata  va 
im puls  bilan  alm ashtirildi.
K a tta   son dagi  z a rr a la r d a n   ta sh k il  to p g an   sistem a  u ch u n  
fazalar  fazosi  h am   k o ‘p  o'lcham li  b o ia d i,  bu  holda  (l .l)ni  grafik 
holda  tahlil  qilish  am ald a  m u m k in   emas.  S h u n d ay   bo'leada  bu 
tu s h u n c h a   s ta tis tik   fizikada  m u h im   ah arn iy atg a  ega.  Bunda 
fazalar  fazosining  e le m e n ta r  hajm ini  bilish  m u h im d ir  va  uning 
e le m e n ta r  h ajm i
k o ‘rin ish d a   yoziladi.
Biz  endi  sistem a  k v a n t  m exanika  qonuniyatiga  bo'y su n u v ch i 
N  ta   z a rra la rd a n   tash k il  to pg an   deb  qaraylik,  u  holda  sistem a 
m ik roholatlarini  aniqlash  u ch u n   N   ta  S h red in g er  tcnglam asini 
yechish  kerak.  Bu  m asalani  h am   u m um iy  k o 'rinishda  yechish 
m u m k in   em as.  A g ar  sistem an i  b ir  o‘lcham li  potensial  o ‘ra d a  
h a r a k a t  q ilay o tg an   b itta   k v a n t  zarrad a n   tash kil  to pg an  d eb  
q arasak ,  k v a n t  m exanika  um u m iy   qoidalarga  asosan  onergiya 
v a  im puls  u ch u n
k o 'rin ish d ag i  ifo d alarn i  yozish  m um kin.  Bu  y erd a:  p n  va  e  -  
mos  rav ish d a  k v a n t  z a rra   im pulsi  va  energiyasi;  n   -   k v a n t  son, 
a  ~  p o te n sia l  o ‘ra   o ‘lc h am i;  h  -   6,62-  10 
-7
  e rg   • s  -   P la n k
(1.5)
d r   =  r i d 
= 
3
N)

---

doimiysi.  Ikkinchi  misol  sifatid a  g arm onik  k v a n t  ossillyatororini 
ko'ram iz.  U nin g  en erg iy asi
П
(1.7)
K vaziklassik  y aqin lash ish d a  zarran in g   fazalar  fazosida  chiz- 
g an   yuzasi,  y a ’ni  holat  yuzasi  B o r-G e y z e n b e rg   qoidasiga  k o 'ra  
k v a n tla n a d i:
n  h o latg a  m os  k elgan  ellips  yuzasi  esa  (n  -  
1
)  ho latg a  to 'g 'ri 
k elg an  y u zad a n   «h »  ga  fa rq   qiladi,  y a ’ni
D e m a k ,  f a z a la r   fa z o s id a   o s s illy a to rn in g   h a r   b ir   k v a n t 
h o latig a  yuzasi  h  ga  te n g   b o 'lg an   «katakcha»  to 'g 'r i  k e la r  ekan. 
U ch  o'lcham li  potensial  o 'ra d a   h a ra k a tla n u v c h i  k v a n t  z arran i 
olib  q a ra sa k ,  u n g a  fazalar  fazosida  h ajm i  h 3  ga  te n g   bo 'lg an  
k v a n t  h olati  to 'g 'ri  keladi.  Ozodlik  d arajasi  /   b o 'lg an   sistem ag a 
hf h ajm li  k v a n t  ho lat  to 'g 'ri  keladi. Uch o'lchamli potensial o'rada 
k v an t zarra impulsi p n — h n/2a,  energiyasi en =   h 2n 2/8 m a 2 bo'ladi; 
b u   y e rd a   n 2  =  nf  + n |   + n l  (n  =  
1
, 
2
,  ...)  -   x ,  y,  z   y o 'n alish lar 
b o 'y ich a  k v a n t  sonlari.
B ir  xil  energ iyali  h o la tlar  soni  ay nish  k a rra lig i  yoki  k v a n t 
h o la tla r  soni,  yoki  sta tis tik   v azn  d eb   ataladi.  K v a n t  h o la tla r 
sonini  bilish  s ta tis tik   fizikada  m u h im   o 'rin   tu ta d i  v a  o d atd a 
Q(e)  yoki  g(e)  kabi  belgilanadi,  e,  e  +  de  en erg iy a  in terv alig a 
to 'g 'r i  k elg an   k v a n t  son  dQ  bilan  belgilanadi.
K v a n t  h o la tlar  sonini  hisoblash  u c h u n   sh u   en erg iy ag a  to 'g 'ri 
k elgan  fazalar  fazosi  h ajm in i  b itta   k v a n t  h o lat  h ajm ig a  bo'lish 
k era k ,  y a ’ni  Q(e)  =   T (e )/h 3 .  S istem aning  erk in lik   d arajasi  /   ta 
bo'lsa,  k v a n t  h o la tlar  soni
b u   y e rd a   Г  -   fa z a la r  fazosining  hajm i.  K v a n t  h o la tla r  soni 
m u ltip lik ativ   q on un ig a  bo 'ysu n ad i:

---

y a ’ni,  o 'za ro   b o g ia n m a g a n   m u ra k k a b   sis te m a la rn in g   k v a n t 
h o latlar  soni,  b arch a  b o 'laklar  energiyasiga  to ‘g ‘ri  kelgan  k v a n t 
h o latlar  sonining  k o 'p ay tm asig a  ten g   bo'ladi.