Termodinamika va statistik fizika

ПЗЛГ/2+1)
-   en erg iy a  v a  h ajm ga

---

II  bob
STATISTIK MEXANIKANING UMUMIY 
METODLARI
2.1.  Gibbsning  mikro  va  kichik  kanonik 
taqsimotlari
Z am onaviy  sta tistik   fizikada  ta sh q i  sistem alar  bilan  issiqlik 
k o n ta k tid a   b o 'lg a n   siste m a n in g   m ik ro h o la tla rid a g i  e n e rg iy a  
q iy m a tla r i  G ib b sn in g   k a n o n ik   ta q s im o ti  b ila n   ta v sifla n a d i. 
M u v o z a n a t  h o la tn in g   ta q sim o t  fu n k siy a sin i  a n iq la s h   u c h u n  
G ibbs  (1901- yil)  te rm o d in a m ik   m u v o z an atd a g i  b e rk   sistem a 
m ik ro h o latlari  te n g   ehtim ollarg a  ega  d eg an   farazn i  aytadi.
T abiiyki,  sistem aning   ta sh q i  m u h it  bilan  b o g 'lan ish   x a ra k - 
te rig a   q a ra b   an iq lan ish i  lozim  b o 'lg a n   ta q sim o t  fu n k siy a la ri 
h a m   h a r   xil  (m ikrokanonik,  kichik  kano n ik  v a  k a tta   kan o n ik  
ta q sim o tlar)  bo'ladi.
Y u qorida sta tistik  ansam bl yoki m ustaqil sistem ach alar u stid a 
fik r  y u ritilg a n   edi.  Biz  ta   z a rra d a n   tash k il  to p g a n   h ajm li  m u v o ­
z a n a td a g i  te rm o d in a m ik   (s ta tis tik )  s is te m a n i  olib  q a ra y lik . 
S istem ad ag i  z a rra la r  k v a n t  m ex anik a  qo nu n iy atig a  bo‘y su n u v - 
chi  z a rra la r  bo'lsin.  S istem an i  ju d a   ko‘p  k v azi-b o g ‘la n m a g a n  
m u sta q il  sistem ach alarg a  ajratam iz.  B u  sistem ach alar  o rasidagi 
o‘zaro  t a ’sir  energiyasining,  sistem a  to ‘la  en erg iy asig a  hissasi 
ju d a   k a m   b o ‘lsada,  am m o  sistem a  v a  sistem ach an in g   tu rli  xil 
en erg iy ali  k v a n t  h o la tlarg a  o‘tishiga  t a ’sir  k o ‘rsatad i.  Vazifa: 
sistem a  holatini  aniqlash.  B uning  u c h u n   ix tiyoriy  ta n lab   olingan 
sistem ach an in g   q a n d a y d ir  e. energiyali  holatg a  tu sh ish   ehtim ol- 
ligi  W (et)  ni  topaylik.  S istem ach alar  h am   k a tta   sondagi  z a r r a ­
la rd a n   ta sh k il  topgan,  biz  b u n d a n   k ey in   sistem ach an i  sistem a 
d e b   q a b u l  qilamiz.  B erk   sistem ani  £.,  e.  +  6ei  en erg iy a  in te r- 
valid a  top ish   ehtim olligi  W(e.)  =   W.£.  energiyali  k v a n t  h o la tlar 
soniga  proporsional  bo‘ladi,  chu n ki  e  energ iy ali  k v a n t  h o la tlar 
soni  q a n c h a   k o ‘p  bo'lsa,  sistem anin g   an a   s h u n d a y   en erg iy ali 
h o latd a  to p ish   ehtim olligi  h am   sh u n ch a  k a tta   bo'ladi.  D em ak,
25

---

b erk   sistem aning  berilgan  energiyali  h o latlard an   birida  bo'lish 
ehtim olligi  k v a n t  h o la tla r  soni 
ga  proporsional  bo'ladi,
y a ’ni
W,.  ~   Q(e ). 
(
2
.
1
)
Bu  ifo da  G ib b sn in g   m ik ro k a n o n ik   ta q sim o ti  deyilad i.  Bu 
y ak k alan g an  b erk   sistem a  holati  uchu n ,  y a ’ni  tashqi  m u h it  bilan 
o 'zaro  t a ’sird a   b o 'lm ag an ,  en e rg iy asi  va  z a rra la r  soni  doim iy 
bo'lgan  b erk   sistem a  holati  u ch u n   m ikrokanonik  taqsim ot  deb 
y u ritilad i.
(
2
.
1
) 
form u lani  oshkora  k o 'rin ish d a  yozish  u ch u n   ik kita  tu rli 
xil holatda  bo'la  oladigan N  ta  o'zaro t a ’sirlashm aydigan zarralar­
d an   tashkil  topgan  sistem ani  k o 'rib   chiqamiz.  Spinlari  ± *  ga
ten g   b o'lgan  z a rra la rd a n   tashkil  top gan   sistem a  bunga  misol 
bo'la  oladi.  T ash qi  m a g n it  m ay d o n   b o 'lm ag an   holda  sistem a 
energiyasi  z a rra la r  spinining  orientatsiyasiga,  h am d a  sistem a­
ning  to'liq  spini  S   =  ^ s   ga  bog'liq  b o im ay d i.  B u ndan  berilgan
energiyali  h olatga  spini  yuqoriga  yo 'n alg an   zarralarn in g   o'rn in i 
o'zaro  alm ash tirish   va,  sh u n g a  o'xshash,  spini  p astg a  yo 'n algan 
zarralarn in g   h a m   o 'rn in i  alm ash tirish   yo'li  bilan ju d a   k o ‘p  teng 
ehtim ollikka  ega  bo'lgan  h o latlar  m av ju d   ekanligi  kelib  chiqadi.
F araz  qilamiz,  spini  st  =  + 1  ga  ten g   bo'lgan  z a rra la r  soni
JVj  va 
= -  i   bo'lgan  zarralar  soni  TV,  bo'lsin.  Qulaylik  u ch u n
n =   N x  -   N 2 va   N   —  N i  +  N 2  k o 'rinish da  aniqlangan  k attalik lar 
kiritam iz.  Bu  belgilash larda  sistem a  to'liq  spini  5   =   s(N l  -   N   ),
spinlari  (T)  yuqoriga  yo'nalgan  zarralar  soni 
TV,  = i(JV  
+ n)  va
s p in la ri  (-
1
) 
p a s tg a   y o 'n a lg a n   z a r r a la r   soni  T V ,= i(T V -n ) 
bo'ladi.
M ik ro k a n o n ik   ta q sim o tn i,  y a ’ni  sis te m a n in g   to 'liq   spini 
S  = sn  ga  ten g   bo'lish  ehtim olligini  topamiz.  B uning  u c h u n   spin
orientatsiyalari  ikki  xil  bo'lgan  N}  = i(iV  + n)  va  N,  -   ~ (N  -  n)  ta
z a rr a la r d a n   o 'z a ro   b o g 'la n m a g a n   jo y la s h is h la r  soni  Щ п)  ni 
topish  k erak.  C h u n k i  topishim iz  k e ra k   b o'lgan  to'liq  spinlari

---

bo'yicha  h o la tlar  ehtim olligi  W(n)  ~   £2(n)  bo'ladi.  N   ta   zarran i 
N\  m a rta   o'zaro  b o g 'lan m ag an   yo'l  bilan  jo y la sh tirish   m um kin. 
Spinlari  y u q o rig a  y o 'n alg a n   za rra la rn i  b ir-b iri  b ilan   o 'rin   al- 
m a s h tir g a n d a   v a   x u d d i  s h u n d a y   sp in la ri  p a s tg a   y o 'n a lg a n  
za rra la rn in g   o 'rn in i  alm ash tirish   n atija sid a  sistem an in g   to'liq 
s p in i  o 'z g a rm a y d i.  B u n d a y   o 'r in   a lm a s h tir is h la r   so n i  m os
rav ish d a  
va  (~ y ~ )'  § a  *en §  bo'ladi.  U  holda
W  ~   Q (n)  =  ------- ^
(2. 2)
( iV+w V  N -n  \
I 
2
  A 
2
  j
Z a rra la r  soni  N   ju d a   k a tta   bo'lganligi  u c h u n   fak to riallarn i
h is o b la s h d a   S tirlin g   fo rm u la s i,  JV!  =  N Ne~N (2ttJV
)1/2
  d a n   v a 
n -C  N   s h a r td a n   foydalanam iz.  B ir  q a to r  so d d a la s h tiris h la rn i 
b ajarib ,  InW  u ch u n   q uy idagini  hosil  qilamiz:
In W *   W in 2 - - - .  
(2.3)
2 N 
K 
’
B u  ifo d a d a n
W ~ e  
2
iV 
(2.4)
ta q sim o t  fu n k siy an i  olamiz.  Bu  esa  n   b o 'y ich a  G auss  taq sim o ti- 
dir.  P roporsionallik  k o effitsiyenti  n o rm iro v k a  s h a rtid a n   topiladi. 
B u  ifo d ad an   eng  k a tta   ehtim ollikka  n   —  0  ho lat  to 'g 'ri  kelishini 
topam iz,  y a ’ni  q a ra m a -q a rsh i  spinli  z a rra la r  soni  te n g   b o 'lg an  
ho lat  b o 'la r  e k an   (S   — 
0
).
R eal  h o llard a  sistem a  ta sh q i  m u h it  b ilan  h a r   doim   o'zaro 
t a ’sird a  bo'ladi.  C hu nk i  uni  ta sh q i  sistem ad an   m u tlaq o   y a k k a - 
la sh   m u m k in   em as.  S h u n in g   u c h u n   k o 'p in c h a   te rm o s ta tg a  
tu sh irilg an   sistem a  qaraladi.  Biz  q a ra y d ig a n   hoi  u c h u n   sistem a 
d eb   ix tiy oriy   ta n la n g a n   sistem achani,  te rm o s ta t  d eb   esa  o 'sh a 
qolgan  sistem ach alar  to 'p lam i  olinadi.  T e rm o sta t  v a   sistem ach a 
e n e rg iy a si:
E  = E<0)  + e,  + eint  ~   £ '0)  + e .  = c o n s t, 
(2.5)
27

---

bu   y erd a  £[П)  -   к  h olatda  y o tg an  te rm o sta t  energiyasi,  e  -   i 
h o latd a  y otgan  sistem a  energiyasi,  e.nt  -   sistem aning  te rm o sta t 
bilan  o 'zaro   t a ’sir  en ergiyasi.  S istem a n i  £.,  e.  +   8e  en erg iy ali 
in te rv a ld a   bo'lish  ehtim olligi
W,  ~   Q(E) =  Q(£<0)  +£,.)  =   Q
0
 (E<0) )Q(ei ). 
(2.6)
(2.5)  ga  asosan  (2.6)  ni  qu y id ag ich a  yozamiz:
W,.  ~ П
0
( Е - £,.)й(е4). 
(2.7)
Bizga  m a ’lum ki  k v a n t  h o la tlar  soni  m ultiplikativ  q o n u n iy at- 
ga,  sistem a  energiyasi  esa  ad ditivlik  qo n un iy atg a  ega.  B ir  xil 
qo n u n iy atg a  o 'tk azish   u ch u n   k v a n t  h o latlar  soni
Ц>( E - £ i )   = exp (S )  =  e x p [S(E - e( )]
bilan  alm ashtiram iz.  Bu  y erd a  S   =  S{E  -   e )  o'lcham siz  kattalik , 
£.  «
  E  bo'lganligi  u ch u n   S(E  -   £.)  ni  e. ning  d a ra ja la ri  bo'yicha 
qato rg a  yoyib,  birinchi  darajali  h a d   bilan  chegaralanam iz.  N ati- 
ja d a   (2.7)  qu yidagi  ko 'rin ish  oladi:
W,.  = const  exp(-^-)£2(et ), 
(2.8)
b u   y e rd a   const  n o rm iro v k a  s h a rti  (1.13)  d an   topiladi:
l
const  =