Теория справедливости, конкуренции и сотрудничества

Доказательство предложения 3
Мы, Жрст, показываем, что s 5 1, которое принимается всеми респондентами, действительно является подигровым совершенным равновесием. Обратите внимание, что любое предложение s $

5. 
   будут приняты всеми респондентами. Аргумент точно такой же, как и в начале доказательства предложения 1. Следующая лемма будет полезна.
   

ЛЭММА 1. Для любого s , 0,5 существует равновесие продолжения, в котором все принимают s.
Учитывая, что все остальные игроки принимают игрока, я предпочитаю также принимать его тогда и только тогда, когда
1 N 2 2
(А6) с 2 _{н 2 1} а_i(1 2 с 2 с) 2 _{н 2 1} б_и(с 2 0)
1 1

что эквивалентно

$ 0 2 _{n 2 1} to_i(1 2 s) 2 _{n 2 1} to_is,

(А7) (1 2 b_i)(n 2 1) 1 2до 1 b_и $0.
Поскольку мы предполагаем, что b_i , 1, это неравенство должно сохраняться. ч
Рассмотрим теперь автора предложения. Очевидно, что никогда не бывает оптимальным предлагать s . 0.5. В таком предложении всегда доминирует s 5 0,5, что дает более высокую денежную отдачу и меньшее неравенство. С другой стороны, мы знаем по лемме 1, что для любого s # 0,5 существует равновесие продолжения, в котором это предложение принимается каждым телом. Таким образом, нам нужно только искать оптимальные s с точки зрения предлагающего, учитывая, что s будет принят. Его функция выплаты
1 N 2 2
(А8) У₁(и) 5 1 2 с 2 _{н 2 1} б₁(1 2 с 2 с) 2 _{н 2 1} б₁(1 2 с).

Дифференциация по урожайности

дУ₁
2 N 2 2

(А9)
_rev 5 2 1 1 _{n 2 1} b₁ 1 _{n 2 1} b₁,

которая не зависит от s и меньше 0 тогда и только тогда, когда (A10) b₁ # (n 2 1)/n.
Следовательно, если это условие выполняется, то это равновесие, что предлагающий предлагает s 5 0, которое принимается всеми респондентами. Теперь мы показываем, что наивысшее предложение, которое может быть поддержано в подигре совершенного равновесия, дается (8).
ЛЭММА 2. Предположим, что было предложено s , 0,5. Существует равновесие продолжения, при котором это предложение отвергается всеми респондентами тогда и только тогда, когда

(А11) s # ^ai
(1 2 b_i)(n 2 1) 1 2- 1 b_и


; i [ 2, . . . , н .

Учитывая, что все остальные респонденты отклоняют s, ответчик i также отклонит s тогда и только тогда, когда

а_и н 2 2
(А12) $0 с 2 _{н 2 1} (1 2 2 с) 2 _{н 2 1} б_ис,
что эквивалентно (A11). Таким образом, (A11) является достаточным условием для сохранения равновесия, в котором s отвергается всеми. Предположим теперь, что (A11) нарушается по крайней мере для одного i [
2, . . . , н . Мы хотим показать, что в данном случае не существует непрерывного равновесия, в котором s отвергается всеми. Обратите внимание, что в этом случае ответчик i предпочитает принимать s, если все остальные респонденты отклоняют его. Предположим теперь, что по крайней мере один другой респондент принимает s. В этом случае респондент предпочитает принимать s так же тогда и только тогда, когда
(А13)