Теория систем и системный анализ

9.2 Операторы переходов и выходов детерминированной

системы без последствий

Без последствий означает, что будущее поведение системы определяется её настоящим и не зависит от прошлого.
Детерминированные - внешние воздействия, приложенные к системе, являются известными функциями времени.
Математически это означает следующее: состояние системы в момент времени определяется её состоянием и отрывком входного сообщения , за полуинтервал , но не зависит от предыстории ( от того каким образом система пришла в состояние - начальное состояние системы).


Примеры систем без последствий и с последствиями.

1. 
   Процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Это задачи:
   
   • 
     классической механики (движение под воздействием силы , колебание маятника и др.),
     
   • 
     электротехники (уравнение тока в цепи, уравнениее движения якоря в магнитном поле и др.)
     
2. 
   График движения транспортных средств ( поездов, троллейбусов), планирование выпуска продукции в отрасли и др.
   

Вводя - оператор переходов систем в новое состояние можно записать:

. (9.1)

Аргументы в правой части (9.1) являются элементами множеств , , , . Исходя из (1) можно формально записать отображение:

.

Для того чтобы определить отрывок входного сообщения при фиксированной паре , необходимо выбрать конкретное входное сообщение из множества сообщений .

Таким образом, приходим к отображению:


. (9.2)

В качестве оператора переходов можно взять не произвольный оператор, реализующий отображение (9.2), а лишь один из операторов, которые удовлетворяют условиям, вытекающим из специфики описания процесса функционирования системы.

Укажем, какими должны быть эти условия:

1. 
   Начальные условия: для любых , , при имеет место равенство: . Здесь - пустой отрывок входного сообщения. Это условие требует, чтобы состояние при совпало с начальным состоянием .
   
2. 
   Условие однозначности: для любых из множества , таких, что , имеет место равенство: в предположении, что входные сообщения являются результатом сочления отрезков и .
   

При фиксированных , и оператор реализует отображение или множества во множество , которое называется движением системы. Множество всевозможных движений системы обозначается .

Совокупность упорядоченных пар для всех , где определяется заданным движением , называется фазовой траекторией системы. Фазовая траектория является подмножеством множества точек пространства , которое можно представить в виде кривой в пространстве .
Совокупность пространства , соответствующих в силу отображения всем , называется траекторией системы в пространстве состояний. Другими словами: траектория системы является проекцией фазовой траектории на пространство .
Для случая конечного входного сообщения оператор переходов системы приобретает вид:


.

Перейдем к выходным сигналам системы. Будем предполагать, что выходной сигнал для момента времени , таких что определяется оператором:

, (9.3)

который называется оператором выходов системы. Этот оператор, реализует отображение:

(9.4).

Несмотря на внешнее сходство операторов (9.2) и (9.4) между ними имеется различие.

Отображение, реализуемое, оператором переходов , каждому моменту времени из множества ставит в соответствие определенный элемент . Однако существуют системы, которые выдают выходные сигналы не обязательно в каждый момент времени. Чтобы устранить это различие, предполагается, что множеству принадлежит и пустой сигнал, который интерпретируется как отсутствие выходного сигнала в момент времени , если .
Рассмотрим точку пространства . Учитывая, что оператор переходов и оператор выходов имеют одну и ту же область определения, введем оператор


, (9.5)

который реализует отображение

.

Оператор называется оператором функционирования системы (рис.9.2).

Рис.9.2. График функционирования системы

Состояние системы, которая выпускает изделия характеризуем числом , выпущенных к данному моменту времени.

Хотя в левой части (9.5) множество не фигурирует, тем не менее точку трактуют как «расширенное» состояние системы. Точку в этой связи называют внутренним состоянием. При фиксированных , и оператор представляет отображение называемое процессом функционирования системы. Совокупность точек пространства является траекторией функционирования системы.
Итак, под детерминированной системой без последствий (или динамической системой Кламана) понимают упорядоченную совокупность:


.

Входящие в совокупность множества обладают следующими свойствами:

• 
  является множеством действительных чисел;
  
• 
  - множество отображений , удовлетворяющих условию сочленения отрывков;
  
• 
  оператор переходов реализует отображение (9.2);
  
• 
  оператор выходов системы задается соотношением (9.3).