Tengsizliklarni echishga olib kelinadi



Download 1,4 Mb.
bet7/13
Sana21.06.2022
Hajmi1,4 Mb.
#689179
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
Bog'liq
10 11 sinflarda tenglama va tengsizliklarni oqitishning har xil (2)


8). ( a b  0
)  ( an

  • bn ) ;

9). ( a b
) ( a 2n1

  • b2n1 ) ;



10). ( a b  0
)  (

    • ) ;

11). (
a b
)  (
2n1 a

  • 2n1 b ).

Quyida misollar echishda ko`p qo`llaniladigan asosiy tayanch tengsizliklarni isbotlari bilan keltiramiz.

  1. Ixtiyoriy ikki haqiqiy a va b sonlari uchun, quyidagi tengsizlik

o`rinli:
a 2b2  2ab


Isboti. Tengsizlikning ta`rifidan foydalanib berilgan tengsizlikning o`ng va chap tomonlarining ayirmasi musbat son bo`lishini ko`rsatish etarli.
Bu ayirma quyidagiga teng

a 2b2
 2ab  a b2.

Ixtiyoriy haqiqiy sonning kvadrati musbat bo`lishidan a b2  0


tengsizligiga ega bo`lamiz va bundan berilgan tengsizlikning isboti kelib chiqadi.



Tengsizlikning isbotidan quyidagi xulosa kelib chiqadi:
a 2b2
 2ab

tengsizlikda tenglik o`rinli bo`ladi faqat va faqat, agar to`la isbotlandi.
a b
bo`lsa. Tengsizlik

  1. Agar a va b bir xil ishorali haqiqiy sonlar bo`lsa, u holda quyidagi

tengsizlik o`rinli:
a b  2

b a


Isboti. Tengsizlikning 5) xossasidan foydalanib berilgan

1


tengsizlikning ikki tomonini musbat bo`lgan

ab


tengsizlikga ega bo`lamiz:
soniga ko`paytirib quyidagi



a b


b

a
 


 

1 1 1


ab b2 a 2
 2 1 .

ab


Endi
a b  2


b a


tengsizlikning to`g`riligini ko`rsatish uchun



tengsizlikning ta`rifidan foydalanib


1 1


b2 a 2

 2 1

ab


tengsizlikning o`ng va



chap tomonlarning ayirmasi musbat son bo`lishini ko`rsatish etarli.
Bu ayirma quyidagiga teng

1 1


b2 a 2

 2 1


ab

1



a

1 2

b


.


Ixtiyoriy haqiqiy sonning kvadrati musbat bo`lishidan





1 1 2



a

b
  0

 


tengsizlikni yozamiz va bundan berilgan ekanligi kelib chiqadi.


a b  2

b a


tengsizlikning o`rinli



Oldingi misoldagiga o`qshash
a b  2

b a


tengsizlikda tenglik o`rinli bo`ladi

faqat va faqat agar
a b
bo`lganda ekanligi tengsizlikning isbotidan kelib

chiqadi. Tengsizlik to`la isbotlandi.

  1. a b

tengsizlik o`rinli faqat va faqat, agar quyidagi qo`sh

tengsizlik o`rinli bo`lsa:

  • b a b .

Isboti. Faraz qilaylik
a b


tengsizlik o`rinli bo`lsin. Agar berilgan tengsizlikni
a  0
bo`lsa u holda
0  a b
a a
bo`lib

ko`rinishda yozish mumkin. Bu erda
b  0 va
a  0
bo`lishidan

tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bundan
b  0  a

  • b a b , ya`ni qo`sh tengsizlik o`rinli ekanligi kelib chiqadi. shunga o`qshash isbotlanadi.



a  0
bo`lgan hol ham

Endi aksincha, faraz qilaylik qo`sh tengsizlik

  • b a b

o`rinli bo`lsin.

Agar
a  0
bo`lsa, u holda
a   a
bo`lib biz isbotlashimiz kerak


bo`lgan
a b
tengsizlik quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:

  • a b

Lekin

  • b a b

tengsizlikdan

  • b a

bo`lishi kelib chiqadi, bundan

isbotlashimiz kerak bo`lgan shunga o`qshash isbotlanadi.

  • a b

tengsizlik kelib chiqadi.
a  0
hol ham

  1. Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar uchun quyidagi tengsizlik o`rinli:

    1. a b

    2. a b

a b ,
a b .


Isboti. Tengsizlikning birinchi a)
a b
a b
qismini


isbotlaymiz.
a  0
haqiqiy sonning absolyut qiymati ta`rifidan

a a ,  a a

tengsizlik o`rinli bo`lishi kelib chiqadi. Bu tengsizlikning ikkinchisining ikki tomonini -1 ga ko`paytirib quyidagi ikkita tengsizlikga ega bo`lamiz:


a a , a   a .

Bu ikkala tengsizliklarni birlashtirib ixtiyoriy a haqiqiy son uchun o`rinli bo`lgan quyidagi qo`sh tengsizlikga ega bo`lamiz:



  • a a a .

Bundan a va b haqiqiy sonlar uchun o`rinli bo`lgan quyidagi


a a a ,  b b b ,

tengsizliklarni yozamiz. Bu tengsizliklarni qo`shib quyidagi tengsizlikga ega bo`lamiz:



  • a b

a b
a b ,

yoki
  a
b   a b


a b .

Shunday qilib


c a

  • b soni quyidagi

    • c a b c ,

tengsizlikni qanoatlantiradi, demak



a b
c , yaniy
a b
a b


Tengsizlikning birinchi qismi isbot bo`ldi.
Endi tengsizlikning ikkinchi b)
isbotlaymiz. Yuqorida isbotlangan foydalanib quyidagiga ega bo`lamiz


a b
a b a



  1. b
  • b


qismini tengsizlikdan

bundan
a  a b  b
a b

  • b ,

a b a b .

bo`lishini ko`ramiz. Shunga o`qshash



b  b a a
b a a
a b a ,

tengsizlikdan quyidagiga ega bo`lamiz:



yoki

  1. a



a b
a b ,

  a b .



Shunday qilib bu olingan tengsizliklarni birlashtirsak quyidagi tengsizliklarning o`rinli bo`lishi kelib chiqadi:



  • a b

a b
a b ,


va bundan isbotlanishi kerak bo`lgan
a b


a b

tengsizlik kelib chiqadi. Tengsizlikning ikkinchi qismi ham isbot bo`ldi.


§1.3. Koshi tengsizligi va uning isboti


holda
Agar
a1, a2 ,..., an
- ixtiyoriy manfiy bo`lmagan sonlar bo`lsa, u

a1 a2 ,...,an

n


(1)



tengsizlik o`rinli.
Tengsizlikdagi tenglik ishorasi faqat holda o`rinli bo`ladi.


a1 a2

,...,  an


bo`lgan


Bu tengsizlik n ixtiyoriy manfiy bo`lmagan sonlarning o`rta arifmetigi va o`rta geometrigi orasidagi tengsizlik bo`lib, Koshi tengsizligi deb ataladi. Koshi tengsizligi murakkab sonli tengsizlik hisoblanadi, va shu paytgacha bu tengsizlikning o`nlab har xil ko`rinishdagi algebraik va geometrik isbotlari paydo bo`ldi. Tengsizlik dastlab Koshi tomonidan murakkab usulda bir nechta varaqda
isbotlanib kursatilgan.

  1. tengsizlikning isbotini keltirishdan avval uning xususiy holini uchun qaraymiz va uning algebraik va geometrik isbotlarini keltiramiz.

n  2

Agar
a1  0 va
a2  0
bo`lsa



tengsizlik o`rinli.
a1 a2

2






Isbot, (2)-tengsizlikning isbotini keltiramiz. Algebraik usul. Tengsizlikning 5) xossasiga ko`ra (2) tengsizlikni unga ekvivalent bo`lgan quyidagi tengsizlik bilan almashtiramiz



yoki
a1 a2

2


a1


a2  2




 0 ,


a1 a2  2
  
2  0 . (3)

  1. tengsizlikning chap tomonida haqiqiy sonning kvadrati turgani uchun (3) tengsizlik o`rinli, va demak bundan

a1 a2

2


tenegsizlikning o`rinli ekanligi kelib chiqadi.


Eslatma. Tengsizlikning isbotidan ma`lumki (2) tengsizlikda tenglik belgisi o`rinli bo`ladi faqat va faqat, agar u (3) tengsizlikda tenglik bajarilsa,

ya`ni  
2  0

bo`lsa. Bu esa faqat


a1 a2

bo`lganda o`rinli.



Geometrik usul. Agar
a1 yoki
a2 ning birisi nol`ga teng bo`lsa (2)

tengsizlikning o`rinli ekanligi ravshan. Shuning uchun
a1  0
yoki
a2  0

deb hisoblaymiz. Faraz qilaylik AB va BC kesmalarning uzunligi ga teng bo`lsin. (1-chizma)
a1 va a2






Uzunligi
a1 a2
ga teng bo`lgan AC kesmaga aylana chizamiz.

Bunda aylananing diametri AC bo`lib markazini O bilan belgilaymiz.
Agar D nuqta AC to`g`ri chiziqdagi B nuqtaga tushirilgan perpendikulyarning aylana bilan kesishish nuqtasi bo`lsa u holda ma`lumki
BD  .

bo`ladi.

Ravshanki,




OD
a1 a2 ,

Download 1,4 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish