Tema: Funkсiyanıń limiti. Eki funkciya jıyındısı kóbeymesi hám bólinbesiniń limiti Joba

1-mısal.   ni esaplań.

Sheshimi. Funkciyanıń limitleri haqqındaǵı teoremalardan paydalanıp,tómendegilerdi tabamız:



2-mısal.  ni esaplań.

Sheshimi. Bólimniń limitin tabamız:

Sonıń ushın 3-teoremadan paydalanamız:

 

4. 
   Ájayıp limitler
   

Yoy sinusınıń sol yoyǵa qatnasınıń limiti: 

Bul teńlik birinshi ájáyip limit dep júritiledi.

Bunday teńlik járdeminde trigonometrik funkciyalar qatnasqan kópshilik limitler esaplanadı.

1-teorema.   ózgeriwshi muǵdar   da 2 menen 3 arasında jatıwshı limitke iye.

Táriyp.   ózgeriwshi muǵdardıń   daǵı limiti e sanı delinedi.

;  e sanı irracional san: e=2, 7182818284...

2-teorema. X sheksizlikke umtılǵanda   funkciya e limitke umtıladı, yaǵnıy   .

 

4. 
   Funkciyanıń úzliksizligi
   

 Kóz aldımızǵa keltireyik,bizge Х tarawda anıqlanǵan y=f(x) funkciya bеrilgen bolsın. Eger y=f(x) funkciyanıń аrgumеnti х=х₀ noqatta аnıqlаnǵаn bolıp, oǵan qandayda bir х tuwındı bersek, onda sol noqatqa say kelgen funkciyanıń tuwındısı da  y+y=f(x₀+x) boladı. Bizge bеrilgen funkciyanı x=x₀ noqattaǵı x tuwındısına sáykes kelgen y tuwındını tabatuǵın bolsaq, y=f(x₀+x)-f(x) boladı.

Táriyp. Y=f(x) funkciyanıń аrgumеnti xx₀ dа funkciyanıń ózi sol noqattaǵı onıń jeke mánisine umtılsа, yaǵnıy f(x)f(x₀) bolsa, ol jaǵdayda y=f(x) funkciyası Х toplаmdı x=x₀ noqatında úzliksiz dеp ataladı hám limit tómendegishe jazıladı.

 f(x)=f(x₀)

Táriypten kórinip turıptı, y=f(x) funkciya qandayda bir x=x₀ da úzliksiz bolıwı ushın tómendegi shártler orınlanıwı kеrek:

1. y=f(x) funkciya x=x₀ noqatta аnıqlаnǵаn

2. y=f(x) funkciyanıń x=x₀ noqattaǵı limit mánisi bar f(x)

3. y=f(x) funkciyanıń x=x₀ dаǵı limit mánisi onıń sol noqattaǵı jeke mánisine tеń , yaǵnıy  f(x)=f(x₀)

Joqarıdа аytıp ótilgen úsh shárt orınlanǵanda y=f(x) funkciya x=x₀ noqatta úzliksiz funkciya delinedi, keri jaǵdayda bolsa y=f(x) funkciya x=x₀ noqatta úzilisk iye dеlinedi.   

Mısal. Y=2x+1     funkciyasın x=2 noqattaǵı úzliksizligi kórsetilsin

Sheshimi.  (2x+1)=5;   f(2)=5

Úzliksizlik túsinigine  hám  tilinde tómendegi táriyp berilgen.                          

1-táriyp (Koshi táriypi).   >  0 san ushın sonday  = ()>0 san bar bolıp, funkciya argumenti x tıń |x-x₀|< teńsizlikti qanaatlandırıwshı barlıq mánislerinde |f(x)-f(x₀)|< teńsizlik orınlansa, f(x) funkciya x₀ noqatta úzliksiz delinedi,   f(x)=f(x₀).

1-mısal. Usı f(x)=  funkciyanıń x₀=5 noqatta úzliksiz ekenin kórsetiń.

Sheshimi.   > 0 san alıp, bul  sanǵa kóre  >0 sanı   =  4 bolsın dep qaralsa, ol jaǵdayda |x-5|<  bolǵanda

bul bolsa qurılıp atırǵan funkciyanıń x₀=5 noqatta úzliksiz ekenligin bildiredi.

2-táriyp (Geyne táriypi). Eger X toplamnıń elementlerinen dúzilgen hám x₀ ǵa umtılıwshı hár qanday {x_n} izbe-izlik alınǵanda hám funkciya mánislerinen dúzilgen sáykes {f(x_n)} izbe-izlik hámma waqıt jalǵız f(x₀) ǵa umtılsa, f(x) funkciya x₀ noqatta úzliksiz dep ataladı.

Eger   múnásibet orınlı bolsa, bul   múnásibet hám orınlı boladı.

Ádette x-x₀ ayırma argument tuwındısı, f(x)-f(x₀) bolsa funkciyanıń x₀ noqattaǵı tuwındısı delinedi. Olar sáykes ráwishte x va y (f(x₀)) sıyaqlı belgilenedi, yaǵnıy: x=x-x₀, y=f(x₀)=f(x)-f(x₀).

Demek, x=x₀+x, y=f(x₀+x)-f(x) nátiyjede,   múnásibet    kóriniske iye boladı.

Solay etip, f(x) funkciyanıń x₀ noqatta úzliksizligi bul noqatta argumenttiń sheksiz kishi tuwındısına funkciyanıń hám sheksiz kishi tuwındısı sáykes keliwi sıpatında da táriypleniwi múmkin.