Telekommukatsiya texnologiyalari

§1.1.da ushbu
_{ } (1)
1-tartibli chiziqli tenglamani yechishda Eyler Bernulli metodi bayon rtiladi,bu yerda P(x),Q(x),
_{ }


II.bob Eyler-Bernulli Langranj .Darbu Yakobi usullari
2.1 Eyler-Bernulli Langranj
paragrafning asosiy natijasi, (1) - tenglama yechimini y=u*v, (u=u(x), v=v(x) - noma’lum funksiyalar) ko’rinishda izlab, (1) ni umumiy yechimi uchun ushbu formulani hosil qilishdan iboratdir:
_{ } C=const, (2)
§1.2.paragrafda esa (1) tenglamaning yechishning Lagranj usuli (o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan (2) formulani hosil qilish isbotlanadi. Bu bobda tipik misollarni yechish ham ko’rsatiladi.
II-bobning §2.1.paragrafida ushbu Bernulli differensial tenglamasi o’rganiladi:
_{ } (3)
Bu yerda,P(x), Q(x),
_{ } da berilgan uzluksiz funksiyalar,_{ }-biror o’zgarmas haqiqiy son (_{ }) Agar _{ } bo’lsa, (3)dan (1), ya’ni birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi, agar _{ } bo’lsa, (3)dan
_{ } yoki _{   } o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo’ladi, shu sababdan ham _{ } deb faraz qilamiz.
paragrafning asosiy natijasi ushbu teoremani isbotlashdan iborat:
Teorema: Agar P(x), Q(x) funksiyalar _{ } oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib,_{ } bo’lsa, u holda _{ }sohaning ixtiyoriy olingan _{ }nuqtasidan (3) tenglamaning _{ } oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’I o’tadi. Ravshanki, _{ } bo’lganda, (3) tenglama _{ }yechimga ega. Bu yechim ham _{ } nuqtadan o’tadigan integral chiziqni ifodalaydi, bu yechim (3) tenglamaning umumiy yechimdan hosil bo’lmaydi va u maxsus yechim hisoblanadi.
da ushbu Darbu tenglamasi:
_{ } (4) bunda,
M(x) va N(x) funksiyalar bir o’lchovli va P(x) shu yoki boshqa o’lchovli bir jinsli funksiyalar. da esa ushbu
_{ } (5)
Yakobi differensial tenglamasi bunda
_{ }berilgan o’zgarmas sonlardan iborat.
O’rganiladigan(4) va(5) tenglamalarni Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechish usullari o’rganiladi va konkret misollarni yechib ko’rsatiladi.
.da ushbu Rikkati differensial tenglamasi o’rganiladi:
_{ } (6) bunda.
P(x), Q(x) va R(x),_{ }-berilgan funksiyalar. Ravshanki, agar R(x)=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:
_{ }
Bu paragrafda ushbu teorema ham isbotlanadi:
Teorema: Agar (6) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Shuningdek, bu paragraf oxirida Bernulli differensial tenglamasiga keltirilib yechiladigan Rikkati tenglamasiga oid misollar ham yechib ko’rsatilgan.
§2.5.da esa fizik masala-argonning sirpanishi haqidagi masala o’rganiladi va bu masalani yechishni Bernulli differensial tenglamasiga _{ } keltirib yechish ko’rsatiladi.
Bitiruv malakaviy ishi nihoyasida ishni bajarish jarayonida hosil bo’lgan xulosalar va ishga doir foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati ilova qilinadi.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
1.1. Ta’rif. ushbu
_{ } (1)
Ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, (1) tenglamada P(x), Q(x) funksiyalar biror _{ } oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. (1) ni _{ } sohada qaraymiz, bu to’plam oraliqning qanday bo’lishiga qarab tasma (kenglik), va tekisliklardan iborat bo’lishi mumkin.
Bir qator differensial tenglamalar, xususan Bernulli, Rikkati va boshqa tenglamalarni integrallashga keltiriladi.
Ma’lumki, (1) tenglamani integrallashda bir necha metodlar mavjuddir. Bu metodlardan ikkitasini qarab chiqamiz.
Eyler Bernulli metodi.

1. 
   tenglamani yechishda bu metodda erkin o’zgaruvchi x ni o’zicha qoldirib, y noma’lum funksiyani esa
   

y=u*v, (1,2) shaklda izlash tavsiya etiladi, bu yerda u va v larning har biri x ning no’malum funksiyasi bo’lib, ulardan biri hozircha ixtiyoriydir: u=u(x), v=v(x),
_{ }
(1.2) dan hosilani hisoblaymiz
_{ } (1.3)
(1.2) va (1.3) ni (1.1) ga qo’ysak
_{ } (1.4)
Endi u=u(x) funksiyani shunday tanlaymizki, natijada
_{ } (1,5)
Tenglik bajarilsin. (1.5) tenglama esa o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lgani uchun, o’zgaruvchilarni ajratib
_{   }
Bundan esa, integrallash natijasida:
_{ } yoki
_{ } (1.6)
Biz bu yerda soddaliknuqtai nazaridan ixtiyoriy o’zgarmas sonni kiitmadik.
Endi (1.5) ga asosan, (1,4) tenglama ko’rinishi bunday bo’ladi:
_{ }
(1.6) tenglik bilan aniqlangan u ning o’rniga ifodasini qo’ysak,
_{ } yoki
_{ } bundan esa
_{ } (C=const), (1.7) (1.6) va (1.7) tengliklarni e’tiborga olib eski o’zgaruvchi y ga (1.2) tenglik bo’yicha qaytsak, natijada (1.1) tenglamaning umumiy integralini quyidagi ko’rinishda hosil qilamiz.
_{ }(1.8)
(1.8) umumiy yechimning tuzulishiga qaraganda u ikki kvadraturani talab qiladi.
Agarda (1.8) tenglikdagi kvadraturalarni bajarib, qavsni ochilsa, uning umumy ko’rinishi
_{ }
bo’ladi. Bundan ko’rinadiki: birinchi tartibli chiziqli tenglamaning umumiy integrali-integrallash natijasida hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmasga nisbatan butun chiziqli funksiyadan iboratdir.
Misol. Ushbu chiziqli tenglama integrallansin:
_{ }
Bu yerda _{   }
Eyler Bernulli metodiga muofiq
y=u*v, (1.10)
deb faraz qilsak bundan
_{ }
Buni va (1.10) almashtirishi berilgan tenglamaga qo’ysak:
_{ }
yoki v ning oldidagi koeffisentni nolga tenglashtirilsa,
_{ } yoki
_{ }yoki u(x)=x. (1.12)
(1.12) ga asosan (1.11) ning ko’rinishi
_{ }
bo’ladi.Bundan esa
_{ 
 } (C=const), (1.13)
(1.12) va (1.13) larni (1.10) ga qo’ysak, (1,9) tenglamaning ushbu ko’rinishdagi umumiy integralini hosil qilamiz:
_{ } (C=const), (1.14).
Lagranj usuli (o’zgarmasni variatsiyalash usuli)
Endi birinchi tartibli chiziqli tenglamani integrallash uchun Lagranj tomonidan taqdim etilgan ixtiyoriy o’zgarmasning variatsiyalash metodini qaraymiz.(1.1) tenglamaga mos birinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamani
_{ } qaraymiz.
_{ } (1.15)
Bu tenglamalani o’zgaruvchilarini ajratsak,
_{ } bundan
_{ } yoki
_{ } (1.16)
Bu yerda C ixtiyoriy o’zgarmasdir.
Lagranj metodini mohiyati shundaki, (1.1) tenglamaning umumiy yechimini (1.16) ko’rinishda izlab, bu yerda C o’zgarmasni “x” ning biror no’malum funksiyasi deb: C=c(x) izlashni tavsiya qilinadi:
_{ } (1.17) u holda
_{ 
  } (1.18)
(1.17) va ( 1.18) ni (1.1) ga qo’ysak,
_{ } yoki_{ }
bundan esa
_{ } C₁=const, (1.19) c(x) uchun topilgan bu ifodani (1.17) ga qo’ysak, Eyler-Bernulli usuli bilan topilgan (1.1) tenglamani umumiy yechimi uchun hosil qilingan natijani hosil qilamiz:
_{ } (1.20)
Misol.
Ushbu,
_{ } tenglamani Lagranj metodi bilan yechishni qaraymiz.
Yechilishi:
_{ }
Bir jinsli tenglamani qaraymiz.
_{ }
Bundan,
_{   }
Yoki,
Y=Cx;
Agar C=C(x)-no’malum funksiya desak,
Y=C(x)x_{1
 } y va _{ } ning ifodalarini berilgan tenglamaga qo’yamiz, bu holda
Dc=2xdx
Demak, C=x²+C_1, (c₁=const)
Natijada,berilgan tenglamaning umumiy yechimi uchun ushbuni hosil qilamiz
_{ } yoki _{ }
Endi chiziqli tenglamaning ba’zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Chiziqli tenglamani to’liq integrallash uchun ikki kvadratura bajarilishi lozim edi. Lekin agarda tenglamaning biror xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi. Haqiqatda faraz qilaylik,
y=y₁

1. 
   tenglamaning xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni
   

_{ } (1.21)
Agarda
_{ } (1.22)
Deb faraz qilinsa, (1.1) tenglamaning ko’rinishi
_{ } bo’ladi, yoki (1.21) ga asosan
_{ } (1.23) bundan,
_{ } demak
_{ } (1.24),
Buni (1.22) ga qo’yilsa, (1.1) tenglamaning umumiy integrali hosil bo’ladi:
_{ } (1.25)
Va bu bitta kvadratura bajarishni talab qiladi.
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning birorta xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda uni integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi.
Endi faraz qilaylik, (1.1) tenglamaning ikkita _{ } xususiy yechimlari ma’lum bo’lsin. Integrallash bu holda kvadraturasiz bajariladi. Haqiqatda chiziqli tenglama umumiy integralining ko’rinishi
_{ } (1.26)
Bo’lgan edi, bunda _{ } va _{ }
Ma’lum funksiyalar. Faraz qilaylik, y₁ va y₂ xususiy yechimlar C ning C₁ va C₂ qiymatlariga mos kelsin, ya’ni
_{ } (1.27)
(1.26) va (1.27) dan
_{ } bunda _{ }-ixtiyoriy o’zgarmas son, yoki buni y ga nisbatan yechilsa,
_{ } (1.28)
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning ikkita xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda, uni integrallash kvadraturasiz bajariladi.


2.2 Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari.
Bernulli tenglamasi Darbu Yokobi Rikat tenglamasi va uni yechish
1-ta’rif. Ushbu
_{ } (2.1)
Ko’rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi, P(x) va Q(x) lar biror _{ } oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar, _{ }-biror o’zgarmas haqiqiy son _{ } Ravshanki agar_{ } bo’lsa, (2.1) tenglamadan
_{ } birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi,bu tenglamani I-bobda o’rgangan edik.
Agar _{ } bo’lsa, (2.1) tenglamadan
_{ } yoki
_{ } tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadan iboratdir.
Demak, (2.1) differensial tenglamasida _{ } bo’lganda bizga ma’lum differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Endi _{ }deb faraz qilamiz.
1-teorema. Agar P(x), Q(x) funksiyalar Ix oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, _{ } bo’lsa u holda _{  } sohaning ixtiyoriy olingan (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) tenglamaning Ix oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’i o’tadi.
Isboti. (2.1) tenglamadan
_{ 
 } va _{  } bo’lgani uchun bu funksiya D sohada uzluksiz bo’ladi.
Demak, Koshi teoremasiga ko’ra D sohaning ixtiyoriy (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) differensial tenglamaning bitta integral chizig’i o’tadi.
Agar _{ } bo’lsa, _{ } bo’lganda Bernulli differensial tenglamasining yechimi _{ } bo’ladi.Bu xususiy yechimdir.Ammo _{ } bo’lganda _{ } funksiya y=0 da uzilishga ega va _{ } nuqtada yechimning yagonaligi buzulishi mumkin. Ammo_{ } bo’lsa, _{  }funksiya maxsus yechim bo’ladi ya’ni, _{ } ning har bir nuqtasida orqali kamida bitta (ko’rilayotgan holda birdan ortiq ) integral chiziq o’tadi.Buni ko’rsatish uchun avval (1) ni _{ } da birinchi tartibli chiziqli tenglamaga keltirib, kvadraturalarda integrallash mumkinligini ko’rsatamiz._{ } deylik. (2.1) tenglamaning ikkala tomonini _{ } ga bo’lamiz.
_{ } (2.2)
va
_{ }, (2.3)
ko’rinishda almashtirishni bajaramiz. (2.3) ni x ga nisbatan differensiallaymiz:


_{ }
yoki
_{ } (2.4)
(2.3) va (2.4) ga asosan (2.2) ning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
_{ }, yoki
_{ } (2.5)
(2.5) tenglama esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat.
Shuning uchun buning umumiy yechimi (integrali) quyidagicha bo’ladi.
_{ } (2.6)
Endi z dan y ga (2.3) tenglikdan foydalanib qaytsak, bu holda (2.1) Bernulli differensial tenglamasining umumiy integralini hosil qilamiz.
_{ } (2.7)
(2.6) tenglikni
z=CA(x)+B(x)
ko’rinishda yozib olaylik, bu yerda A(x), B(x) lar Jx oraliqda uzluksiz funksiyalar. U holda (2.1) ning umumiy yechimi:
_{ } agar x=x₀, y=y₀=0 va _{ }
bo’lsa, bu formula yordamida ushbu _{ } tenglamadan C ning yagona qiymatini topa olamiz, ya’ni
_{ }.
Shunday qilib, (x₀;0) nuqtadan
_{ }
Integral chiziq o’tadi.
ravshanki, _{ } bo’lganda (2.1) tenglama _{ }
yechimga ega. Bu yechim ham (x₀;0) nuqtadan o’tadigan integral chiziqni ifodalaydi. Demak, Bernulli differensial tenglamasi kvadraturalarda integrallanadi;
2) Benulli differensial tenglamasi _{ }
bo’lganda _{ } maxsus yechimga ega.
Misol. _{ } Bernulli tenglamasini yechishni qaraymiz.
Yechilishi: Misoldan: P(x)=a=const, Q(x)=x, _{ } ekanligi ma’lum. Berilgan tenglamani har ikkala tomonini _{ } ga bo’lamiz:
_{ }endi _{ } eb faraz qilamiz, bu holda_{  }, yoki
_{   } demak,
_{ } yoki _{ } bu esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iboratdir, bu yerda _{ }
Chiziqli tenglaqmaning umumiy integrali uchun chiqarilgan formulaga ko’ra (I-bobdagi (1.8) formula ):
_{ } yoki
_{ }
Qavs ichidagi integralni bo’laklab integrallaymiz:
_{ } bunga asosan esa
_{ } bo’ladi, yoki _{ } bo’lganligi uchun berilgan tenglamaning umumiy integrali bunday bo’ladi:
_{ } shuningdek, _{ } yechim, maxsus yechim ekanligini ham eslatib o’tamiz.
.Darbu tenglamasi va uni yechish.
Ushbu
M(x)dx+N(x)dy+P(x)(xdy-ydx)=0, (2.8) ko’rinishdagi tenglamani ham Bernulli differensial tenglamasiga keltirish mumkin, agarda M(x) va N(x) funksiyalar bir o’lchovli va P(x) shu yoki boshqa o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa. (2.8) tenglamani ba’zan Darbu tenglamasi deb ham aytiladi.
Faraz qilaylik, M(x) va N(x) ning har biri m-darajali va P(x) esa n-darajali bir jinsli funksiya bo’lsin, ya’ni:
_{     }
Agar _{ } desak, u holda y=xz, _{ } bo’lib, berilgan (2.8) tenglamaning ko’inishi bunday bo’ladi:
_{ } yoki
_{ } yoki
_{ } bu esa, Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, bu yerda
_{     
 }
Bu tenglama esa, yuqorida (1⁰ nunktda) ko’rsatilgan metod bilan integrallanadi. Albatta integrallashdan so’ng, z ni _{ } bilan almashtirish lozimdir.
Misol. Ushbu Darbu tenglamasini integrallang:
_{   },
Yechilishi: Berilgan tenglamada m=3, n=1; shuning uchun _{ } deb faraz qilamiz bundan,
_{ } demak,
_{ } yoki buni x³ ga qisqartirsak, bunday yozish mumkin:
_{ } yoki _{ }
Bu yerda esa x ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat bo’lib,
_{   } bu yerda m=3, n=1 bo’lgani uchun n-m+2=0, ya’ni _{ } bo’lib, Bernulli tenglamasi birinchi tartibli chiziqli tenglamadan iborat bo’lgan holdir, endi chiziqli tenglamaning umumiy integralining formulasi bo’yicha ushbuni topamiz:
_{ 
  }
Bu integralni e’tiborga olib umumiy yechimni topamiz:
_{ 
 } bo’lgani uchun
_{ };
natijada esa,
_{   } yoki
_{ }
yoki qaytib z ni _{ } bilan almashtirilsa
_{ 
   } C₂=const
Yakobi differensial tenglamasi va uni yechish.
yakobi differensial tenglamasi deb ushbu tenglamaga aytiladi:
_{ } (2.9)
Bu yerda a,a₁,a₂,b,b₁,b_2,c,c₁,c₂-berilgan o’zgarmas sonlardan iborat
Bu tenglamani 2⁰-punktda o’rganilgan Darbu tenglamasining ko’rinishiga keltirish mumkin. Buning uchun:
_{   }, (2.10)
Deb faraz qilamiz, bu yerda _{ } noma’lum o’zgarmas sonlar. (2.10) ko’rinishdagi almashtirish natijasida (2.9) tenglamaning ko’rinishi bunday bo’ladi:
_{ } (2.11)
bunda
_{ },(2.12)
Endi (2.11) tenglamani bunday yozamiz:
_{ }(2.13)
Agar _{   } (2.14)
Tengliklar o’rinli deb faraz qilsak, natijada (2.13) tenglama ushbu ko’rinishga keladi:
_{ } (2.15)
Bu tenglama esa o’tgan paragrafdagi holdan iboratdir.
Rikkati differensial tenglamasi.
Umumlashgan Rikkati tenglamasi deb ushbu tenglamani aytiladi:
_{ } (2.16)
Bunda P, Q, R berilgan bo’lib, ular x ning funksiyalaridan iboratdir.
P=0 bo’lsa, (2.16) tenglamadan
_{ }
Birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.
Agar R=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:
_{ }(2.16) ni quyidagicha yozib olaylik
_{ } (2,17)
(2.17) tenglamaning o’ng tomoni
_{ } sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib,y bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi,chunki
_{ }
O’ng tomondagi funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyadan iboratdir. Demak D sohada Koshi teoremasining shartlari o’rinli. D sohaning ixtiyoriy olingan _{ }, _{ }nuqtasidan Rikkati tenglamasining bitta integral chizig’i o’tadi.
2.2-Teorema. Agar (2.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Isboti. Faraz qilaylik _{ } funksiya (2.16) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni:
_{ } (2.18)
Ayniyat o’rinli bo’ladi.
Endi y=y₁+z ko’rinishdagi almashtirish bajaramiz:
_{ 
 }
bo’ladi.
(2.18) tenglikka asosan z no’malumni toppish uchun esa
_{ }
Tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini _{ } ga bo’lib, so’ngra
_{ } (2.19)
almashtirish bajarsak:
_{ 
 } (2.20)
bo’ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali
_{ } (2.21)
ko’rinishda bo’ladi. Endi eski o’zgaruvchiga
_{ } tenglik orqali qaytsak, (2.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:
_{ }
1. Misol. _{ } tenglama Rikkati differensial tenglamasi bo’lib, uning xususiy yechimini _{ } ko’rinishda izlash maqsadga muvofiqdir. Bundan
_{ }
Bundan _{ } ekanligi kelib chiqadi. Ravshanki
_{ }
Ham berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.
Agar _{ } ni olsak, u holda
_{ }
Almashtirish bajarib, tegishli Bernulli tenglamasi
_{ }
ko’rinishda bo’ladi.
Endi _{ } desak, _{ } tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi:
_{ } ko’rinishda bo’lib,_{ }
Almashtirishlar yordamida berilgan Rikkati tenglamasining umumiy yechimi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
_{ } (C=const)
2-misol. _{ } tenglama Rikkati tenglamasining tipidan bo’lib, bunda
_{ }
da aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.
_{ } funksiya tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Shuning uchun,
_{ }
Almashtirish bajarsak,bundan
_{ }

Bularni berilgan tenglamaga qo`yilsa , ushbu Bernulli tenglamasini hosil qilamiz :

_{ }
Bu tenglamani integrallash uchun ikkala tomonini z ga bo`lib , so`ngra
_{ }
deb faraz qilamiz , bundan ushbu chiziqli tenglamani hosil qilamiz ;
_{ }
Bu tenglamaning umumiy yechimi esa
_{ }
bo`ladi.
<sub> </sub>
bo`lgani uchun
_{ }
bundan
_{ } , (C=const)
Berilgan tenglamaning umumiy integrali shuning o`zi bo`lib, u ixtiyoriy o`zgarmasga nisbatan chiziqli ratsional funksiyadan iboratdir.