«Тела вращения» на вычисление объёмов и площади поверхности

Объем шара (Vш)

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

Ответ: 22
Решение
Ответ
Справка
Решение
Выразим из формулы для объёма цилиндра и подставим в формулу для объёма шара
Каталог заданий

Площадь поверхности шара (Sш)

Даны два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Ответ: 4
Решение
Ответ
Справка
Решение
Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой , поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 22 = 4 раза.
Каталог заданий

Высокий уровень

Старт/стоп
Sб.п.ц
Vк
Sб.п.к
Vш
Sп.ш
Vц
МЕНЮ

Объем цилиндра (Vц)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что , .

а) Докажите, что угол между

прямыми AC1 и BC равен .

б) Найдите объём цилиндра.

Решение
Ответ
Справка
Каталог заданий
Ответ: 
Решение
а) Пусть BB1 — образующая цилиндра. Тогда BB1C1C — прямоугольник, поэтому угол между прямыми AC1 и BС равен углу .
Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра,
поэтому он прямой. Значит, прямая B1C1, параллельная
прямой BС, перпендикулярна прямым AB и BB1.
Таким образом, прямая B1С1 перпендикулярна плоскости ABB1,
а значит, угол AB1C1 прямой. В прямоугольном треугольнике АB1С1:
Значит,
б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, площадь основания цилиндра
Следовательно, объём цилиндра