Tayyorlash va ularning malakasini oshirish hududiy

(x+a)
4
=x
4
+4ax
3
+6a
2
x
2
+4a
3
x+a
4
;(x+a)
5
=x
5
+5ax
4
+10a
2
x
3
+10a
3
x
2
+5a
4
x+a
5
. 
 
7) Yonma-yon turuvchi ikkihadni: 
T
m m
m
n
n
a x
n
n
m n






 
1
1
1
1 2 3
(
). . .[
(
)]
. . .
;
 
T
m m
m
n
m
n
n n
a
x
n
n
m n


 





 

2
1
1
1
1
1 2 3
1
(
). . .[
(
)](
)
. . . (
)
 
solishtirishdan shu natijaga kelamiz: 
 
Endigi  had  koeffitsientini  topish  uchun,  undan  oldingi  had 
koeffitsientini  shu  haddagi  x  ning  ko`rsatkichiga  ko`pay-tirish  va  shu 
aniqlanuvchi haddan oldingi hadlar soniga bo`lish kifoya. 
 
Bu  xossadan  foydalanib,  binom  yoyilmasini  to`g`ridan-to`g`ri  yozish 
mumkin, masalan: 
(x+a)
7
=x
7
+7ax
6
+... 
 
Endi  7  ni  olamiz,  uni  6  ga  ko`paytiramiz  va  2  ga  bo`lamiz;  bundan  21 
chiqadi: 
(x+a)
7
=x
7
+7ax
6
+21a
2
x
5
+... 
 
Endm 21 ni olib, 5 ga ko`paytiramiz va 3 ga bo`lamiz, 35 chiqadi: 
(x+a)
7
=x
7
+7ax
6
+21a
2
x
5
+35a
3
x
4
+... 
 
hozir  hadlar  qatorning  o`rtasigacha  yozildi,  qolganlarini  beshinchi  xossaga 
asosan topamiz: 
(x+a)
7
=x
7
+7ax
6
+21a
2
x
5
+35a
3
x
4
+35a
4
x
3
+21a
5
x
2
+7a
6
x+a
7
. 
 
8) Barcha binomial koeffitsientlarning yig`indisi 2
m
 ga teng. haqiqatan,  
binom formulasida x=a=1 faraz qilib, shuni hosil qilamiz: 
2
1
1
1 2
1
2
1 2 3
1
m
m
m m
m m
m
  





 
 
(
)
(
)(
)
.. .
. 

---

166 
 
 
Masalan  (x+a)
7
  ning  yoyilmasidagi  koeffitsientlar  yig`in-disi  mana  shunga 
teng: 
1+7+21+35+35+21+7+1=128=2
7
. 
 
9) Binom formulasida a ni — a ga almashtirsak, quyida-giga ega bo`lamiz: 
(
)
(
)
(
)
(
)
. . . (
) ,
x
a
x
m
a x
m m
a x
a
m
m
m
m
m








  


1
2
2
1
1 2
 
yoki 
(
)
(
)
. . . (
)
,
x
a
x
m ax
m m
a x
a
m
m
m
m
m
m






  


1
2
2
1
1 2
1
 
demak, + va — ishorali navbatlashib keladi. 
 
10) Agar oxirgi tenglamada x=a=1 deb faraz qilsak, u holda: 
0
1
1
1 2
1
2
1 2 3
1
  





 
  
m
m m
m m
m
m
(
)
(
)(
)
. . . (
)
 
chiqadi. 
 
Toq  o`rinda  turuvchi  binomial  koeffitsientlar  yig`indisi  juft  o`rinda 
turuvchi binomial koeffitsientlar yig`indisiga teng. 
 
4.  Binom  formulasini  ko`phadga  tatbiq  qilish.  Npyuton  binomining 
formulasi ko`phadni darajaga ko`tarishga imkon beradi, chinonchi: 
(a+b+c)
4
=[(a+b)+c]
4
=(a+b)
4
+4c(a+b)
3
+6c
2
(a+b)
2
+ 
+4c
3
(a+b)=c
4
. 
 
(a+b)
4
, (a+b)
3
, (a+b)
2
 larni yoyib, oxirgi natijani yoza olamiz: 
(a+b+c)
4
=a
4
+4a
3
b+6a
2
b
2
+4ab
3
+b
4
+12a
2
bc+ 
+12ab
2
c++4b
3
c+6a
2
c
2
+12abc
2
+6b
2
c
2
+4ac
3
+4bc
3
+c
4
. 
 
Hodisalar va ular ustida amallar. 
Ehtimollar  nazariyasi  hodisalar  ro`y  berishining  umumiy  qonuniyatlarini 
o`rganadigan va uni amaliyotda tatbiq etishga yordam  ko`rsatadigan fandir. 
 
hodisa dastlabki tushuncha sifatida taoriflanmaydi. hodisani kuzatish uchun 
maolum  bir  shart-sharoitlar  kompleksi  xozirlangan  bo`lishi  kerak.  Ushbu  shart-
sharoitlar kompleksini “

” bilan belgilaymiz. 

---

167 
 
 
Masalan: 1. Suvning qaynash hodisasini kuzatish uchun 100
0 
S issiqlik 760 
mm Rtut simob ustuni bilan o`lchanuvchi normal atmosfera (

: shart-sharoit); 
 
2.  Kubik  tashlanganda  biror  raqam(1dan  6gacha)ning  tushishini  kuzatish 
uchun  kubikning  bir  jinsli  va  tashlanayotgan  maydonning  ham  mutloq  tekis 
bo`lishi (“

 ” shart-sharoit). 
 
Biz bundan buyon biror hodisani ruy berishini kuzatish uchun  har doim  “

 
”  shart-sharoit  xozirlangan  deb  hisoblaymiz  va  bu  xaqda    keyinchalik  
eslatmaymiz. 
 
hodisalar  tabiatiga  ko`ra  uch  turga  bo`linadilar  (muqarrar  hodisa,  mumkin 
bo`lmagan  va  tasodifiy  hodisa).  Tajriba    o`tkazilganda  har  doim  ro`y  beradigan 
hodisaga  muqarrar  hodisa  deb  ataladi  va  uni  U  orqali  belgilanadi.  Masalan  kubik 
tashlanganda  1dan  6gacha  raqamlardan  biri-ning  tushishi  muqarrar  hodisadir.  har 
safar  tajriba  o`tkazilganda  har  doim  ro`y  bermaydigan  hodisaga  mumkin 
bo`lmagan hodisa deb ataladi va uni  B kabi belgilanadi. 
 
Masalan  kubik  tashlanganda  “  7  ”  raqam  tushish  hodisasi  mumkin 
bo`lmagan hodisadir. 
 
Tajriba  o`tkazilganda  yo  ro`y  beradigan    yoki  ro`y    bermaydigan  hodisaga 
tasodifiy hodisa deb ataladi. 
 
Tasodifiy  hodisalarni  katta  lotin  harflari  A,B,C,  ...bilan  belgilaymiz. 
Masalan,  kubik  tashlanganda  “3”  raqami  tushishi  tasodifiy  hodisadan  iborat. 
Bundan  buyon  tasodifiy    hodisalarnigina  o`rganamiz  va  ularni  qisqacha  hodisalar 
deb ataymiz. 
 
Agar  bitta  sinovning  o`zida  A  va  Bhodisalar  bir  vaqtda  ro`y  bermasa,ular 
birgalikdamas(birgalikda bo`lmagan) hodisalar deyiladi. 
 
Agar    sinov  natijasida  bir  nechta  hodisalardan  faqat  bittasi  ro`y  bersa,ular 
hodisalarning to`la guruhini tashkil etadi deyiladi.  
 
Agar A hodisa ro`y berganda B hodisa ham ro`y bersa, u holda A hodisa B 
hodisani  ergashtiradi, va bu munosabatni A 

B kabi belgilanadi. 
 
Agar A va B hodisalardan  istalgan biri ikkinchisini ergashtirsa, u holda A va 
Bhodisalarni teng kuchli hodisalar deb  ataladi va uni  
A=B  kabi  belgilanadi.  hodisalar  ustida  ham  qo`shish,  ko`paytirish,  hodisalar 
ayirmasi  va  xakazo  amallarni  kiritib  tabiatdagi  murakkab  hodisalarni  ifodalash 
mumkin bo`ladi. 
 
A  va  Bhodisalardan  hech  bo`lmaganda  bittasini  ro`y  berishdan  iborat 
bo`lgan  hodisaga  A  va  B  hodisalarning  yig`indisi  deb  ataladi  va  uni    A

B  yoki  
A+B    kabi  belgilanadi.  A  va  B  hodisalarning  bir  vaqtda  ro`y  berishidan  iborat 

---

168 
 
bo`lgan hodisaga A va V hodisalarning ko`paytmasi deb ataladi va uni  A

B yoki  
A 

  B kabi  belgilanadi. 
 
A  hodisa  ro`y  bermagandagina  va  faqat  shu  holdagina    ro`y  beradigan 
hodisaga A hodisaga karama-karshi  hodisa deb ataladi va  uni 
A
 kabi belgilanadi 
.Agar  A  hodisa  uchun  B
1
,B
2
,  ...,B
m 
hodisalar  mavjud  bo`lib,  A=B
1
+B
2
+...+  B
m
  
bo`lsa,    u  holda  A  hodisani  “m”ta  xususiy  holga  ajiraladi,  yoki  aks  holda  esa  A 
hodisani elementar hodisa deb ataladi. 
Elementar  hodisalarni 
  
,
,
,
1
2
...  kabi  belgilaymiz.  Elementar  hodisalar 
to`plamini esa 

 kabi belgilaymiz va uni elementar hodisalar fazosi deb yuritamiz.