Средняя линия трапеции Определение.
Средняя линия - отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Формулы определения длины средней линии трапеции: 1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
m =
a + b
2
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
m =
S
h
Высота трапеции Формулы определения длины высоты трапеции: 1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:
h = c·sin α = d·sin β
2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
h =
sin γ ·
d1 d2
=
sin δ ·
d1 d2
a + b
a + b
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
h =
sin γ ·
d1 d2
=
sin δ ·
d1 d2
2m
2m
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
h =
2S
a + b
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
h =
2S
m
Диагонали трапеции Формулы определения длины диагоналей трапеции: 1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:
d1 = √a2 + d2 - 2ad·cos β
d2 = √a2 + c2 - 2ac·cos β
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
d1 =
√
d 2 + ab -
a(d 2 - c2)
d2 =
√
c2 + ab -
a(c2 - d 2)
a - b
a - b
3. Формула длины диагоналей через высоту:
d1 = √h2 + (a - h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2 d2 = √h2 + (a - h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2 4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:
d1 = √c2 + d 2 + 2ab - d22 d2 = √c2 + d 2 + 2ab - d12
Площадь трапеции Формулы определения площади трапеции: 1. Формула площади через основания и высоту:
S =
(a + b)
· h
2
2. Формула площади через среднюю линию и высоту:
S = m · h
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
S =
d1d2
· sin γ
=
d1d2
· sin δ
2
2
4. Формула площади через четыре стороны:
S =
a + b
√
c2 -
(
(a - b)2 + c2 - d 2
)
2
2
2(a - b)
5. Формула Герона для трапеции
S =
a + b
√(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)
|a - b|
где
p =
a + b + c + d
- полупериметр трапеции.
2
Периметр трапеции Формула определения периметра трапеции: 1. Формула периметра через основания:
P = a + b + c + d
Окружность описанная вокруг трапеции Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!! Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности: 1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
R =
a·c·d1
4√p(p - a)(p - c)(p - d1)
где
p =
a + c + d1
2
a - большее основание
Окружность вписанная в трапецию В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
a + b = c + d
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности 1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
r =
h
2
Другие отрезки разносторонней трапеции Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию: 1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
KM = NL =
b
KN = ML =
a
TO = OQ =
a · b
2
2
a + b
Определение.
Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.
На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.
Рис.1
Признаки равнобедренной трапеции Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:
1. Углы при основе равны:
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
2. Диагонали равны:
AC = BD
3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
4. Сумма противоположных углов равна 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
5. Вокруг трапеции можно описати окружность
Основные свойства равнобедренной трапеции 1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:
AB = CD = m
3. Вокруг равнобедренной трапеции можна описать окружность
4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):
h = m
5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:
SABCD = h2 6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:
h2 = BC · AD
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:
AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD
8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:
HF ┴ BC ┴ AD
9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньшый (PD) - равен полуразности оснований:
AP =
BC + AD
2
PD =
AD - BC
2
10. Также смотрите свойства трапеции
Стороны равнобедренной трапеции Формулы длин сторон равнобедренной трапеции: 1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:
a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α
b = a - 2h ctg α = a - 2c cos α
c =
h
=
a - b
sin α
2 cos α
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
a =
d12 - c2
b =
d12 - c2
c = √d12 - ab
b
a
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
a =
2S
- b b =
2S
- a
h
h
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
с =
S
m sin α
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
с =
2S
(a + b) sin α
Средняя линия равнобедренной трапеции Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции: 1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:
m = a - h ctg α = b + h ctg α = a - √c2 - h2 = b + √c2 - h2 2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
m =
S
c sin α
Высота равнобедренной трапеции Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции: 1. Формула высоты через стороны:
h =
1
√4c2 - (a - b)2
2
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
h =
a - b
tg β
= c sin β
2
Диагонали равнобедренной трапеции Диагонали равнобедренной трапеции равны:
d1 = d2 Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции: 1. Формула длины диагонали через стороны:
d1 = √с2 + ab
2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:
d1 = √a2 + c2 - 2ac cos α
d1 = √b2 + c2 - 2bc cos β
3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:
d1 = √h2 + m2 4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
d1 =
1
√4h2 + (a + b)2
2
Площадь равнобедренной трапеции Формулы площади равнобедренной трапеции: 1. Формула площади через стороны:
S =
a + b
√4c2 - (a - b)2
4
2. Формула площади через стороны и угол:
S = (b + c cos α) c sin α = (a - c cos α) c sin α
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
S =
4 r 2
=
4 r 2
sin α
sin β
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
S =
ab
=
ab
sin α
sin β
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:
S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m
6. Формула площади через через диагонали и угол между ними:
S =
d12
· sin γ
=
d12
· sin δ
2
2
7. Формула площади через через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
8. Формула площади через через основания и высоту:
