Окружностьописанная вокруг трапеции Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!! Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности: 1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
R =
a·c·d1
4√p(p - a)(p - c)(p - d1)
где
p =
a + c + d1
2
a - большее основание
Определение.
Прямоугольная трапеция — это трапеция у котрой одна из боковых стороны перпендикулярна основам.
Рис.1
Признаки прямоугольной трапеции Трапеция будет прямоугольной если выполняется одно из этих условий:
1. В тапеции есть два смежных прямых угла:
∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°
2. Одна боковая сторона перпендикулярна основам:
AB ┴ BC, AB ┴ AD
Основные свойства прямоугольной трапеции 1. В трапеции есть два смежных прямых угла:
∠BAD = ∠ABC = 90°
2. Одна боковая сторона перпендикулярна основам:
AB ┴ BC ┴ AD
3. Высота равна меньшей боковой стороне:
h = AB
Стороны прямоугольной трапеции Формулы длин сторон прямоугольной трапеции: 1. Формулы длины оснований через стороны и угол при нижнем основании:
a = b + d cos α = b + c ctg α = b + √d 2 - c2 b = a - d cos α = a - c ctg α = a - √d 2 - c2 2. Формулы длины оснований через стороны, диагонали и угол между ними:
a =
d1d2
· sin γ - b =
d1d2
· sin δ - b
c
c
b =
d1d2
· sin γ - a =
d1d2
· sin δ - a
c
c
3. Формулы длины оснований трапеции через площадь и другие стороны:
a =
2S
- b b =
2S
- a
c
c
4. Формула боковой стороны через другие стороны и угол при нижнем основании:
c = √d 2 - (a - b)2 = (a - b) tg α = d sin α
5. Формулы боковой стороны через основы, диагонали и угол между ними:
7. Формула боковой стороны через другие стороны, высоту и угол при нижнем основании:
d =
a - b
=
c
=
h
= √c2 + (a - b)2
cos α
sin α
sin α
Средняя линия прямоугольной трапеции Формулы длины средней линии прямоугольной трапеции: 1. Формулы средней линии через основание, высоту (она же равна стороне d ) и угол α при нижнем основании:
m =
a - h ·
ctg α
=
b + h ·
ctg α
2
2
2. Формулы средней линии через основания и боковые стороны сторону:
m =
a -
√d 2 - c2
=
b +
√d 2 - c2
2
2
Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Рис.1
Рис.2
Признаки правильного многоугольника Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:
Все стороны и углы одинаковы:
a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = an α1 = α2 = α3 = ... = αn-1 = αn
Основные свойства правильного многоугольника 1. Все стороны равны:
a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = an 2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 = ... = αn-1 = αn 3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O 4. Сумма всех углов n-угольника равна:
180° · (n - 2)
5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:
β1 + β2 + β3 + ... + βn-1 + βn = 360°
6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:
Dn =
n · (n - 3)
2
7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:
S =
π
a2
4
8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O
Правильный n-угольник - формулы Формулы длины стороны правильного n-угольника 1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r · tg
180°
n
a = 2r · tg
π
n
2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:
a = 2 R · sin
180°
n
a = 2 R · sin
π
n
Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:
r = a : (2tg
180°
)
n
r = a : (2tg
π
)
n
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:
R = a : (2sin
180°
)
n
R = a : (2sin
π
)
n
Формулы площади правильного n-угольника 1. Формула площади n-угольника через длину стороны:
S =
na2
· ctg
180°
4
n
2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
S =
nr2 · tg
180°
n
3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:
S =
nR2
· sin
360°
2
n
Формула периметра правильного многоугольника: Формула периметра правильного n-угольника:
P = na
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника: Формула угла между сторонами правильного n-угольника:
αn =
n - 2
· 180°
n
Рис.3
Правильный треугольник Формулы правильного треугольника: 1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r √3
2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:
a = R√3
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
r =
a√3
6
4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
R =
a√3
3
5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
S =
a2√3
4
6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 3√3
7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
S =
R2 3√3
4
8. Угол между сторонами правильного треугольника:
α = 60°
Рис.4
Правильный четырехугольник Правильный четырехугольнику - квадрат.
Формулы правильного четырехугольника: 1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r
2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
r =
a
2
4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
R =
a√2
2
5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:
S = a2 6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
S = 4 r2 7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
S = 2 R2 8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:
α = 90°
Смотрите также формулы и свойства квадрата
Правильный шестиугольник Формулы правильного шестиугольника: 1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
a =
2√3
r
3
2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
a = R
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
r =
a√3
2
4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
R = a
5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:
S =
a2 3√3
2
6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 2√3
7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
S =
R2 3√3
2
8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:
α = 120°
