Ta’lim vazirligi

Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni

(X,Y) ikki o’lchovli tasodifiy miqdor taqsimot qonunini

(1.3.2)

Y	^y1	^y2	…	^ym
X
^x1	^p11	^p12	…	^p1m
^x2	^p21	^p22	…	^p2m
…	…	…	…	…
^xn	^pn1	^p21	…	^pnm

(1.3.3)

bu yerda barcha p_ij ehtimolliklar yig’indisi birga teng, chunki birgalikda bo’lmagan hodisalar to’la gruppani tashkil etadi. (1.3.2) formula ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, (1.3.3) jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.

(X,Y) ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan bo’lsin, har bir kompanentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish mumkin. Har bir uchun hodisalar birgalikda bo’lmaganligi sababli

Demak,

, .

3.1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko’k shar bo’lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X tasodifiy miqdor va ko’k rangdagi sharlar soni Y tasodifiy miqdor bo’lsin. (X,Y) ikki o’lchovli tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarini toping.

X tasodifiy miqdorqabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y tasodifiy miqdorning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz:

;

(X,Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko’rinishga ega:

Y		0		1
X
0		1			2
		6		6
1		2			1
		6		6

Bu yerdan kelib chiqadi. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarni quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

va

II. BOB

BERNULLI TASODIFIY MIQDORLARNING KETMA-KETLIGI

2.1 Bog’liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi

Agar bir necha tajribalar o’tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro’y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog’liq bo’lmasa, bunday tajribalar bog’liqsiz tajribalar deyiladi.

n ta bog’liqsiz tagribalar o’tkazilayotgan bo’lsin. Har bir tajribada A hodisaning ro’y berish ehtimolligi va ro’y bermasligi ehtimolligi bo’lsin.

Masalan, 1) nishonga qarata o’q uzish tajribasini ko’raylik. Bu yerda A={o’q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va A ={o’q nishonga tegmadi}-muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda muvaffqiyat va muvaffaqiyatsizlik bo’ldi.

Bu kabi tajribalatda elementar hodis alar fazosi faqar ikki elementadan iborat bo’ladi: bu yerda hodisa ro’y bermasligini, hodisa ro’y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q lar orqali belgilanadi.

Agar n ta tajriba o’tkazilayotgan bo’lsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni 2ⁿ ga teng bo’ladi. Masalan, n=3 da

ya’ni to’plam 2³=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini ko’paytirish teoremasiga ko’ra hisoblash mumkin:



p(₁ )  P( AAA)  P( A)P( A)P( A)  pq ² ,

…………………………………….

n ta bog’liqsiz tajribada A hodisa m marta ro’y berish ehtimolligini hisoblaylik:

Har bir qo’shiluvchi ko’paytirish qoidasiga ko’ra ga teng.

Demak,

, .

Agar n ta bo’g’liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro’y berish ehtimolligi p ga, ro’y bermasligi q ga teng bo’lsa, u holda A hodisaning m , (2.1.1)

(2.1.1) formula Bernulli formulasi deyiladi. ehtimollik uchun tenglik o’rinlidir. Haqiqatdan ham,

Nyuton binomi formulasida deb olsak,

ya’ni

bo’ladi.

(2.1.1) ehtimolliklar xossalari:

1. .

2. Agar bo’lsa,

3. n ta bog’liqsiz tajribada A hodisaning kamida 1 marta ro’y berishi ehtimolligi bo’ladi.

Chunki,

4. Agar ehtimollikning eng katta qiymati bo’lsa, u holda quyidagicha aniqlanadi: -eng ehtimolli son deyiladi va

a) agar kasr son bo’lsa, u holda yagonadir;

b) agar butun son bo’lsa, u holda ikkita bo’ladi.

1-misol. Ikki teng kuchli shaxmatchi shaxmat o’ynashmoqda. Qaysi hodisaning ehtimolligi katta: 4 ta partiyadan 2 tasida yutishmi yoki 6 ta partiyadan 3 tasida yutish. Birinchi holda: n=4, m=2, . Bernulli formulasiga ko’ra

.

Ikkinchi holda n=6, m=3, va Bernulli formulasiga ko’ra: .

Demak 4 ta partiyadan, 2 tasida yutish ehtimolligi katta ekan.