|
Bernulli teoremasi. Agar l ta erkli sinashning har birida hodisaning ro`y bershi ehtimoli o`zgarmas va sinashilar soni yetarlicha katta bo`lsa, u xolda nisbiy chastotaning extimoldan chetlanishi absolyut qiymat bo`yicha istalgancha kichik bo`lish ehtimoli birga istalgancha yaqin bo`ladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar istalgancha kichik musbat son bo`lsa, u holda teorema shartlari bajarilganda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi:
Isboti. orqali (diskret tasodifiy miqdor) birin chi sinashda, orqali ikkinchi sinashda, …, orqali psinashda hodisaning ro`y berish sonini belgilaymiz.
Ravshanki, bu miqdorlarning har biri faqat ikkita qiymat: 1 ni ( hodisa ro’y berdi) extimol bilan, va 0 ni (hodisa ro`y bermadi) ehtimol bilan qabul qilishi mumkin.
Qaralayotgen miqdorlarga Chebishev teoremasini qo`llash mumkinmi? Agar tasodifiy miqdorlar juft-juft erkli va ularning dispersiyalari chegaralangan bo`lsa, mumkin. Ikkala shart ham bajariladi. Haqiqatan ham miqdorlarning juft-juft erkligi tajribalarning erkliligidan kelib chikadi. Ixtiyoriy miqdorning dispersiyasi ko`paytmaga teng. bo`lgani uchun ko`paytma dan ortmaydi. Demak, bu miqdorlarning dispersiyalari chegaralangan, masalan. soni bilan.
( deb qabul qilinganda kelib chiqadi.
Ma’lumki, yig’indisi o’zgarmas bo’gan ikki sonning ko’paytmasi o’zining eng katta qiymatiga ko’paytuvchilar o’zaro teng bo’lgan holda erishadi. Bu yerda ya’ni o’zgarmas, shuning uchun da eng katta qiymatiga ega bo’ladi, bu qiymat ga teng.)
Ko`rilayotgan miqdorlarga Chebishev teoremasini (xususiy holini) qo`llanib, kuyidagini xosil qilamiz:
Har bir miqdorning a matematik kutilishi (ya’ni bitta sinashda hodisaning ro`y berish sonining matematik kutilishi) hodisaning ruy berish ehtimoli ga teng ekanligini e’tiborga olib quyidagiga ega bo` lamiz:
Endi kasr ta sinashda hodisa ro`y berishining nisbiy chastotasi ga tengligini ko`rsatish qoldi, xolos. Haqiqatan, miqdorlarning har biri hodisa mos sinashda ro`y berganida birni kabul kiladi; demak yigindi ta sinashda hodisaning ro`y berish soni ga teng, demak,
Bu tenglikni hisobga olib, uzil-kesil
tenglikni hosil qilamiz.
Eslatma. Bernulli teoremasiga asoslanib, sinashlar soni ortishi bilan nisbiy chastota albatta ehtimolga intiladi, deb xulosa chikarish noto`g`ri bo`lar edi; boshqacha qilib aytganda, Bernulli teoremasidan tenglik kelib chikmaydn. Teoremada fakat taj ribalar soni yetarlicha katta bo`lganda nisbiy chastotaning har bir sinashda hodisa ro`y berishining o`zgarmas ehtimolidan istalgancha kam faqk qilishi extimoli to`g`risida so`z boradi.
Shunday qilib, nisbiy chastotaning extimolga intilishi matematik
analizdagi ma’noda intilishdan farq qiladi. Bu farqimi ta’kidlash maqsadida “ehtimol bo`yicha” yaqinlashish tushunchasi kiritaladi. Anikrog’i, ko`rsatilgan intilish turlari orasidagi farq quyidagidan iborat: agar nisbat da matematik analizdagi intilish ma’nosida ga intilsa, u holda uchun va undan keyingi barcha lar uchun albatta tengsizlik bajariladi; agarda nisbat da ga ehtimol bo`yicha intilsa, u holda ning ayrim qiymatlarida tengsizlik bajarilmay qolishi mumkin.
Shunday qilib, Bernulli teoremasiga ko`ra da nisbiy chastota ga ehtimol bo`yicha intiladi. Berkulli teoremasi qisqacha kuyidagicha yoziladi:
Ko`rinib turibdiki, Bernulli teoremasi sinashlar soni yetarlicha ko`p bo`lganda nisbiy chastota nima uchun turg’unlik xossasiga ega bo`lishini tushuntiradi va extimolning statistik ta’rifini asoslaydi.
Xulosa
Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazariyasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Markaziy limit teoremalari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:
1. Tasodifiy hodisalar va ularning klassifikatsiyasi
Do'stlaringiz bilan baham: | 
