T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

5-§.  Haqiqiy sonlarni  sonlar o‘qida tasvirlash
Ratsional  sonlami  sonlar  o ‘qidagi  nuqtalar  orqali  tasvirlash  bilan  2-§  da 
tanishib  o ‘tgan  edik.  Bu  paragrafda  irratsional  sonlami  sonlar  o ‘qida  tasvirlash 
mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Quyidagi  tasdiqlar o'rinli  deb olamiz.
1) To‘g‘ri  chiziqdagi  nuqtalar to‘plami  tartiblangan,  ya’ni  to‘g‘ri  chiziqdagi 
ixtiyoriy ikki 
с
 va 
d
  nuqtalardan bin ikkinchisidan chapdayotadi.  Shuningdek, agar 
с  nuqta 
d
  nuqtadan, 
d
  nuqta 
e
  nuqtadan chapda yotsa,  u holda 
с
  nuqta 
e
  nuqtadan 
chapda yotadi.
2)  Bir-biridan  farqli  ixtiyoriy  ikki  с  va  d  nuqtalar  orasida,  kamida  bitta 
“ratsional” nuqta mavjud.
3) To‘g‘ri  chiziqning barcha nuqtalari  to‘plamida qurilgan  ixtiyoriy 
( X ',Y r)
 
kesim uchun 
X '
  sinfning eng o‘ng nuqtasi yoki 
Y'
 sinfning eng chap nuqtasi mavjud. 
(Bu tasdiqni to‘g ‘ri chiziqning 
uzluksizlik aksiomasi
 deyiladi).
4) To‘g‘ri chiziqda eng chap va eng o‘ng nuqta mavjud emas.
Har bir ratsional  songa,  to‘g‘ri  chiziqda ratsional nuqta  mos kelishini  2-§  da 
ko‘rsatgan edik.  Endi irratsional songa, to‘g‘ri  chiziqdagi ratsional bo‘lmagan nuqta 
mos  kelishini  ko‘rsatamiz.
Aytaylik, 
x
 irratsional  son va  (Л, 
B)
  uni  aniqlovchi  kesim  bo'lsin.  Agar quyi 
sinf 
A
  dagi  ratsional sonlarga mos keladigan “ratsional” nuqtalami 
A'
  sinfga, yuqori 
sinf 
В
  dagi  ratsional  sonlarga  mos  keladigan  “ratsional”  nuqtalarni 
B'
  sinfga 
kiritsak, u holda to‘g‘ri chiziqning ratsional nuqtalari to ‘plamida (
A ', В
') kesim hosil 
boMadi.
14

---

Endi  to‘g ‘ri  chiziqdagi  barcha  nuqtalami 
X '
  va 
Y'
  sinflarga  quyidagicha 
ajratamiz:
A'
  ning hech  bo'lmaganda bitta nuqtasidan  chaproqda joylashgan  nuqtalami 
X '
 sinfga,  qolgan  nuqtalami 
Y'
  sinfga  kintiladi.  Natijada  to‘g‘ri  chiziq  nuqtalari 
to'plamida (
X ', Y')
  kesim hosil bo'ladi.
To‘g ‘ri  chiziqning  uzluksizlik  aksiomasiga  ko‘ra 
(X', Y')
  kesim  biror 
M (x)
 
nuqtani aniqlaydi.  Bu nuqta 
X '
  da eng o‘ng nuqta yoki 
Y'
  da eng chap nuqta boMadi. 
Bu  nuqta  “ratsional"  nuqta  bo‘la  olmaydi.  Shu 
M (x)
  nuqtani 
x
  irratsional  songa 
mos  qo‘yamiz.  Xuddi  shu  kabi,  to ‘g‘ri  chiziqdagi  har  bir  “ratsional”  bo‘lmagan 
nuqtaga  bitta  irratsional  son  mos  kelishini  yuqoridagiga  o‘xshash  mulohazalar 
yordamida ko‘rsatiladi.
Shunday  qilib,  har bir haqiqiy  songa to‘g ‘ri  chiziqdagi  bitta nuqta va  to‘g ‘ri 
chiziqdagi  har  bir  nuqtaga  bitta  haqiqiy  son  mos  keladi.  Shu  sababli,  haqiqiy  son 
deganda  son  o‘qidagi  nuqtani,  sonlar  o ‘qidagi  nuqta  deganda  haqiqiy  sonni 
tushunish mumkin.