T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

1.20-teorema  (Dedekind  teoremasi). 
Haqiqiy  sonlar  to‘plami 
R 
ning 
ixtiyoriy 
(X, Y) 
kesimi  uchun  quyidagi  ikki  holdan faqat biri o ‘rinli  bo‘ladi:
1) 
Quyi  sinf 
X  
da eng katta element mavjud,  yuqori  sinf 
Y 
da  eng kichik 
element mavjud emas;
2) 
Quyi  sinf 
X  
da eng  katta  element  mavjud  emas,  yuqori  sinf 
Y 
da  eng 
kichik element mavjud.
Isbot 0 
Aytaylik, 
R 
da biror 
(X,Y) 
kesim  berilgan  boMsin.  Quyi  sinf 
X  
dagi 
barcha  ratsional  sonlar  to‘plamini 
A, 
yuqori  sinf 
Y 
dagi  barcha  ratsional  sonlar 
to‘plamini 
В 
orqali  belgilaylik.  U  holda  bu 
A 
va 
В 
tolplamlar  ratsional  sonlar 
to‘plami 
Q
  da kesim hosil  qilishini bilamiz.
Ma' lumki, 
(A,B) 
kesim biror 
a 
sonni aniqlaydi.  Bu son 
X  
yoki 
Y 
laming biriga 
tegishli boMadi.
Agar 
a 
E  X  bo‘lsa,  u holda 
a 
son 
X  
to‘plamning  eng katta  elementi  ekanini 
ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, 
a 
son 
X
ning eng katta elementi bo‘lmasin.  U hoIdaX da 
a 
dan 
katta boMgan  biror 
a0 
sonni  olamiz.  Haqiqiy  sonlar to‘plamining  zichlik  xossasiga 
ko‘ra 
a< K a0 
shartni  qanoatlantiruvchi 
r 
ratsional  son  mavjud.  Endi 
r < a0,  сц еХ
 
dan 
reX , 
shuningdek 
a 
boMganligi uchun, 
(A,B) 
kesim xossasiga ko‘ra 
r& B, 
ya’ni 
re У kelib  chiqadi.  Bu  qarama-qarshilik  farazimizning noto‘g ‘ri  ekanini  ko‘rsatadi. 
Demak, 
a 
son 
X  
ning eng katta elementi boMadi.
Agar a e  
Y 
boMsa,  u  holda 
a 
son 
Y 
to‘plamning  eng  kichik  elementi  ekanligi 
yuqoridagi  kabi  ko‘rsatiladi*.
13

---

Bu  teoremadan,  haqiqiy  sonlar  to ‘plamida  3-tur  kesim  mavjud  boim asligi 
kelib chiqadi.  Mana shu xususiyatm  haqiqiy sonlar to‘plamining 
uzluksizlik xossasi
 
deyiladi.
Demak,  haqiqiy  sonlar to‘plami  R  da hosil  qilingan  har bir kesim faqat bitta 
haqiqiy sonni  aniqlaydi.