T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

4.  Haqiqiy  sonlarni  o‘n!i  kasrlar  bilan  ifodalash. 
Aytaylik,  bizga  a  
irratsional  son berilgan bo‘lsin.  U holda shunday c0  butun son  mavjud bo‘lib, 
a
  son 
c0va  c0  +  1  lar  orasida  yotadi.  Endi,  [c0;c 0  +   1]  kesmani  teng  10  ta  bo‘lakka 
bo‘lamiz.  a   shu bo‘lakchalardan biriga ichki nuqta bo‘ladi.  Masalan,  uchlari  c0, 
va  c0, Й1  +  ^ ,   ( a t  — 0, 1, 2 ,...,9   raqamlardan  bin)  bo'lgan  kesmaning  ichki 
nuqtasi  boMadi.  Bu  jarayonni  davom  ettirib, 
а г, а 2, ... , a n_x
  raqamlami 
aniqlagandan  so‘ng 
a n
  raqamni  quyidagi  qo‘shtensizlikni  qanoatlandiradigan qilib 
aniqlaymiz:
1
c0, a xa 2  ... a n  < a <   c0la t a 2  ...a n
  + —  
( 1) 
li

---

Shunday  qilib, 
a
  irratsional  sonning  o ‘nlik  yaqinlashishlarini  topish 
jarayonida 
c0
  butun sonni  va 
a x, a
2, ..., 
a n, ...
  raqamlar ketma-ketligini hosil  qildik. 
Ulardan  tuzilgan 
c0, a 1a 2
  ... 
a n  ...
  simvol 
cheksiz  o'nlik kasr
  deb  ataladi  va  uni 
a
 
irratsional  sonning ifodasi  deb qarashimiz mumkin.
a
  butun  yoki  cekli  o'nli  kasr bo'lganda ham yuqoridagi  kabi 
c0
  butun  sonni 
va 
a x, а г, ..., a n, ...
  raqamlami ( 1) ga nisbatan  umumiyroq bo‘lgan
1
c0, 
a xa 2 ... a n < a   <  c0, a xa 2
  ... 
a n
  +  —  
( 2)
munosabatlardan  aniqlash mumkin.
Bu holda biror qadamdan  so'ng 
a
  uni  o ‘z ichiga olgan oraliqning uchlaridan 
biriga  teng  bo‘lib  qoladi.  Oraliqning  qaysi  uchiga  teng  bo‘lib  qolishi  bizning 
ixtiyorimizda  boMadi.  Shu  qadamdan  boshlab  (2)  da  o ‘ng  yoki  chap  tomonida 
tenglik  bajariladi.  Chap  (o‘ng)  tomonida  tenglik  bajarilsa,  navbatdagi  barcha 
raqamlar 0  (9)  boMadi.  shunday  qilib,  bu holda 
a
  ikki  xil  ifodaga  ega boMadi:  biri- 
davrida  0  boMgan  cheksiz  o ‘nlik  kasr,  ikkinchisi-davrida  9  boMgan  cheksiz  o'nlik 
kasr.  Masalan,  2,017  =   2,017000 ...  =   2,016999  ....
Shunday  qilib  ixtiyoriy 
a
  haqiqiy  sonni  cheksiz  olnlik  kasr  ko‘rinishda 
ifodalash mumkin.
Bu tasdiqning teskarisi  ham o‘rinli  (1-13-masala).
Kelgusida  haqiqiy  son  deganda  cheksiz  o ‘nlik  kasmi  tasaw ur  qilishimizga 
boMadi.  Chekli  yoki  davriy  cheksiz  o'nlik  kasr  ratsional  sonni,  nodavriy  cheksiz 
o‘nlik kasr irratsional  sonni  ifodalaydi.